銘記星辰之下: 11月 2022

2022年11月30日星期三

一枚硬幣投擲3次，得到正面的期望值。-排列組合機率47

一枚硬幣投擲3次，得到正面的期望值。
期望值：E(X)= nΣi=0 , Xi X Pi + ... + Xn X Pn。
二項機率：P(X)= nCr X p(x)^r X 1-p(x)^n-r 。

當0個正面的組合X機率時=3C0 X (1/2)^0 X (1/2)^3=3C0 X (1/2)^3。
當1個正面的組合X機率時=3C1 X (1/2)^1 X (1/2)^2=3C1 X (1/2)^3。
當2個正面的組合X機率時=3C2 X (1/2)^2 X (1/2)^1=3C2 X (1/2)^3。
當3個正面的組合X機率時=3C3 X (1/2)^3 X (1/2)^0=3C3 X (1/2)^3。

期望值：E(X)=(1/2)^3 X［0 X C(3,0) +1 X C(3,1) +2 X C(3,2) +3 X C(3,3)］。
若用EXCEL計算=0.125X(0X1+1X3+2X3+3X1)=1.5。

或用數學簡化式計算：nΣr=1 , r X C(n,r)=n X C(n-1,r-1)= n X 2^n-1 = 3X2^3-1=12。
然後，12 X 0.125=1.5。

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2022年11月29日星期二

F(X=x) ～ B(n,P)，x是 Binomial distribution 執行 n 次，證真跡象為P時，x的分布情況。-排列組合機率46

F(X=x) ～ B(n,P)，x是 Binomial distribution 執行 n 次，證真跡象為P時，x的分布情況。

擲一骰子6次，第三次擲中6點的機率=6/6(第一次) X 6/6(第二次) X 1/6(第三次)，故等於1/6。

擲一骰子6次，第四次擲中6點的機率=6/6(第一次) X 6/6(第二次) X 6/6(第三次) X 1/6(第四次)，故等於1/6。

擲一骰子6次，第三次與第五次擲中6點的機率=6/6(第一次) X 6/6(第二次) X 6/1(第三次) X 6/6(第四次) X 1/6(第五次)，故等於1/36。

擲一骰子6次，6次中恰有出現2次6點的機率=6C2(組合種) X 1/6(一次) X 1/6(二次) X 5/6(其他非6點一次) X 5/6(其他非6點二次) X 5/6(其他非6點三次) X 5/6(其他非6點四次) = 6C2 X (1/6)^2 X(5/6)^4，15X(1/36)X(625/1296)=0.200938786

擲一骰子6次，恰好在第6次中出現2次6點的機率=5C1(第一次出現6組合種) X 1/6(一次) X 1/6(二次) X 5/6(其他非6點一次) X 5/6(其他非6點二次) X 5/6(其他非6點三次) X 5/6(其他非6點四次) = 5C1 X (1/6)^2 X(5/6)^4，5X(1/36)X(625/1296)=0.066979595

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2022年11月28日星期一

某地某年紀某性別某治療方式的對某疾病的「新藥的治癒率約是40%」，則該方式5人能治癒的機率是多少。多少機率下治癒的人數會介於包含1~包含3人之間。-排列組合機率45

某地某年紀某性別某治療方式的對某疾病的「新藥的治癒率約是40%」，則該方式5人能治癒的機率是多少。多少機率下治癒的人數會介於包含1~包含3人之間。

樣品總數	證真跡象	抽樣數量	介於之上限	=BINOM.DIST. RANGE (A4,B4,C4,D4)	="P(X≦"&D28&")+P(X≧"&C28&")"	期望值'E(X)=NXP
5	0.4	5	5	1.0240%	P(X≦5)+P(X≧5)	2
5	0.4	1	2	60.4800%	P(X≦2)+P(X≧1)	2
5	0.4	1	3	83.5200%	P(X≦3)+P(X≧1)	2
5	0.4	1	4	91.2000%	P(X≦4)+P(X≧1)	2
5	0.4	1	5	92.2240%	P(X≦5)+P(X≧1)	2
5	0.4	1	1	25.9200%	P(X≦1)+P(X≧1)	2

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2022年11月27日星期日

某地某年紀某性別某治療方式的「癌症的五年存活率約是60%」，則該方式5人能存活的機率是多少。-排列組合機率44

某地某年紀某性別某治療方式的「癌症的五年存活率約是60%」，則該方式5人能存活的機率是多少。

樣品總數	證真跡象	抽樣數量	介於之上限	=BINOM.DIST .RANGE (A4,B4,C4,D4)	期望值'E(X)=NXP	變異數'VAR=NXPXQ
5	0.6	0	1	8.704000%	3	1.2
5	0.6	1	2	30.720000%	3	1.2
5	0.6	2	3	57.600000%	3	1.2
5	0.6	3	4	60.480000%	3	1.2
5	0.6	4	5	33.696000%	3	1.2
5	0.6	5	5	7.776000%	3	1.2

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人生最難是活與死。你我最終是立場的無奈。至少還有家人可以守護。你還在，我也還在，如何放下。非為師之道，永不給建議。生命仍存在，不因看不見，聽不見，而有所遺憾。每個人都一樣，一生值得驕傲的事很少，但遺憾的事很多。

人生最難是活與死。你我最終是立場的無奈。至少還有家人可以守護。你還在，我也還在，如何放下。非為師之道，永不給建議。生命仍存在，不因看不見，聽不見，而有所遺憾。每個人都一樣，一生值得驕傲的事很少，但遺憾的事很多。

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2022年11月26日星期六

若一實驗結果，以證明是真的或是以證明是假的，兩種結果。-排列組合機率43

若一實驗結果，以證明是真的或是以證明是假的，兩種結果。F(X)=P(X)，X=0 OR 1。F(0)=證假。F(1)=證真。
則：P(X=0)=F(0)= P^0 X (1-P)^1-0 = 1-P(X)，P(X=1)=F(1)= P^1 X (1-P)^1-1 = P(X)

二項機率：第一次試驗某事件發生的機率為P(X)，那麼不發生的機率為1-P(X)，若共識驗n次時，發生r次的機率=Cr X (P(X)^r) X 1- (P(X)^(n-r))。

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超幾何分配：連續抽N個樣本，抽出後不放回，計算機率。
二項分配：每次抽一個樣本再放回去，隨機抽N次，每次僅有證真或證假兩種。

例：X=X1+X2+X3，Xi=0 OR 1，N等於3次。
則：
0個1的機率：3C0=1(證真組合的可能性) X 證真機率^證真幾種 + 3C3=1(證假組合的可能性) X 證假機率^證假幾種
1個1的機率：3C1=3(證真組合的可能性) X 證真機率^證真幾種 + 3C2=3(證假組合的可能性) X 證假機率^證假幾種
2個1的機率：3C2=3(證真組合的可能性) X 證真機率^證真幾種 + 3C1=3(證假組合的可能性) X 證假機率^證假幾種
3個1的機率：3C3=1(證真組合的可能性) X 證真機率^證真幾種 + 3C0=1(證假組合的可能性) X 證假機率^證假幾種

懂得了二項分配再講什麼後，來使用EXCEL軟體計算，才知道他在做什麼：
例：假設產品的不良率為0.1，我們來證真的機率就是0.1，然後隨機抽驗10PCS產品，則剛好抽到3個不良品的機率是多少。

計算式：二項分配公式'10C3X0.1^3X0.9^3。'=BINOM.DIST(3,10,0.1,0)=0.057395628。
二項分配公式0+1+2+3的機率，就是那個BINOM.DIST中的參數，
如果 cumulative 為 TRUE，則 BINOM.DIST 返回累積分佈函數(0+1+…+N)，即最多存在 number_s 次成功的概率；預設為 FALSE，則返回概率密度函數，即存在 number_s 次成功的概率。
=BINOM.DIST(3,10,0.1,1)，F(0個1)=0.34867844 +F(1個1)=0.387420489 +F(2個1)=0.193710245 +F(3個1)=0.0.57395628=0.987204802。

另有BINOM.DIST.RANGE 函數

'=BINOM.DIST.RANGE(10,0.1,2,6)=0.263892
傳回證真的機率就是0.1，在 10 次中成功 2 和 6 次 (含) 間的機率的二項分配。

'=BINOM.DIST.RANGE(10,0.1,3)=0.057396，在 10 次中成功 3 次的機率的二項分配，這樣寫就跟'=BINOM.DIST(3,10,0.1,0)=0.057395628一樣。

二項分配公式	=BINOM.DIST(3,10,0.1,0)	0.057395628

10C3X0.1^3X0.9^3	=120(0.1^3)(0.9^7)	0.057395628

二項分配公式	=BINOM.DIST(3,10,0.1,1)
0+1+2+3	0.987204802

0.987204802	=BINOM.DIST(0,10,0.1,0)	0.34867844
	=BINOM.DIST(1,10,0.1,0)	0.387420489
	=BINOM.DIST(2,10,0.1,0)	0.193710245
	=BINOM.DIST(3,10,0.1,0)	0.057395628
	=BINOM.DIST(4,10,0.1,0)	0.011160261
	=BINOM.DIST(5,10,0.1,0)	0.001488035
	=BINOM.DIST(6,10,0.1,0)	0.000137781
	=BINOM.DIST(7,10,0.1,0)	8.748E-06
	=BINOM.DIST(8,10,0.1,0)	3.645E-07
	=BINOM.DIST(9,10,0.1,0)	0.000000009
	=BINOM.DIST(10,10,0.1,0)	1E-10
	加總	1.0000000

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	樣品總數	證真跡象	抽樣數量	=BINOM.DIST(D2,B2,C2,0)	X100
	10	0.1	0	0.34867844	34.867844010%
	10	0.1	1	0.387420489	38.742048900%
	10	0.1	2	0.193710245	19.371024450%
	10	0.1	3	0.057395628	5.739562800%
	10	0.1	4	0.011160261	1.116026100%
	10	0.1	5	0.001488035	0.148803480%
	10	0.1	6	0.000137781	0.013778100%
	10	0.1	7	8.748E-06	0.000874800%
	10	0.1	8	3.645E-07	0.000036450%
	10	0.1	9	0.000000009	0.000000900%
	10	0.1	10	1E-10	0.000000010%

	樣品總數	證真跡象	抽樣數量	=BINOM.DIST.RANGE(B15,C15,D15)	X100
	10	0.1	0	0.34867844	34.867844010%
	10	0.1	1	0.387420489	38.742048900%
	10	0.1	2	0.193710245	19.371024450%
	10	0.1	3	0.057395628	5.739562800%
	10	0.1	4	0.011160261	1.116026100%
	10	0.1	5	0.001488035	0.148803480%
	10	0.1	6	0.000137781	0.013778100%
	10	0.1	7	8.748E-06	0.000874800%
	10	0.1	8	3.645E-07	0.000036450%
	10	0.1	9	0.000000009	0.000000900%
	10	0.1	10	1E-10	0.000000010%

樣品總數	證真跡象	抽樣數量	介於之上限	=BINOM.DIST.RANGE(A28,B28,C28,D28)	X100	="P(X≦"&D28&")+P(X≧"&C28&")"
10	0.1	0	1	0.736098929	73.609892910%	P(X≦1)+P(X≧0)
10	0.1	1	2	0.581130734	58.113073350%	P(X≦2)+P(X≧1)
10	0.1	2	3	0.251105873	25.110587250%	P(X≦3)+P(X≧2)
10	0.1	3	4	0.068555889	6.855588900%	P(X≦4)+P(X≧3)
10	0.1	4	5	0.012648296	1.264829580%	P(X≦5)+P(X≧4)
10	0.1	5	6	0.001625816	0.162581580%	P(X≦6)+P(X≧5)
10	0.1	6	7	0.000146529	0.014652900%	P(X≦7)+P(X≧6)
10	0.1	7	8	9.1125E-06	0.000911250%	P(X≦8)+P(X≧7)
10	0.1	8	9	3.735E-07	0.000037350%	P(X≦9)+P(X≧8)
10	0.1	9	10	9.1E-09	0.000000910%	P(X≦10)+P(X≧9)
10	0.1	10	10	1E-10	0.000000010%	P(X≦10)+P(X≧10)

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