常態分布與標準常態分布變換簡化用excel公式(Z值)表-排列組合機率59

 

常態分布-維基百科

常態分布是觀察事件定量現象的連續分布變化的極限分布的機率模型。
各種的現象的各自影響源因的交互混雜，導致聚集起來後有很大的機率形成某幾個自然變數服從某種分布機率曲線。

由二項分布F(X=x) ～ B(n,P)，母數為n→∞且p→0時近似於常態分布。E(X)平均數為μ且變異數為σ^2

常態分布的機率密度函數均值為μ(mu)(母平均值)，為(母標準差)σ或變異數σ^2(sigma)，記為：
F(χ; μ, σ) = [ 1 / (σ (2 π)^1/2) ] exp{ -1[(χ-μ)^2] / 2σ^2}

由X→-∞∽X→+∞，X-∞ ∫ X+∞ F(X) d(X)，曲線累積機率=1。

標準常態分布的累積分布函數習慣上記為Ф(Phi) ，它僅僅是指(母平均值)μ( mu )=0，(母標準差)σ=1(sigma)時的值，另u=標準化平均值的偏倚(把u=χ-μ/σ)，則變換簡化
F(χ) = [ 1 / (σ(2 π)^1/2) ] exp{ -1[(χ-μ)^2] / 2σ^2}，
Ф(u) = [ 1 / (σ(2 π)^1/2) ] exp{ -1[(  u  )^2] / 2σ^2}。
u=χ-μ/σ，μ=0，σ=1，u=χ-0/1，u=χ。X→-∞∫X+∞ Ф(u) d(u)。

二項分配的數學式：E(X)=np=μ ，Var(x)=np(1-p)= σ 
常態分布的時候σ因為正負∞，所以Var(x)=σ^2決定了x軸分布的大小。
不過如果考慮的是單邊機率問題從－∞到x的值ｚ= P(x-μ / σ)，如果考慮的是雙邊機率問題－∞～X～＋∞，σ（標準差）因為會變成σ^2（變異數），所以在計算z時ｚ= P(x-μ / σ^(1/2))。
標準差用於計算各數值與平均數的差，取其平方後加總，再除以數值個數，得「變異數」。變異數開根號後得「標準差」。
常態分布的數學期望值或期望值u等於位置母數，決定了分布的位置；其變異數σ^2的^(1/2)開平方等於標準差σ等於尺度母數，決定了分布的幅度。

關注於ε 從x=0,u=0.5 ; x=-∞,u=0 ; x=+∞,u=1。 包含在μ值以上(以外)的機率，1-ε包含在μ值以下(以內)的機率，2ε 包含X±∞時μ值以上(以外)的機率，1-2ε 包含X±∞時μ值以下(以內)的機率。從1-2ε 包含X±∞時μ值以下(以內)的機率的當u=1.0，u=2.0，u=3.0，各是等於μ±1σ=68.3%，μ±2σ=95.4%，μ±3σ=99.7%。

Excel 中使用=NORM.S.DIST(Z ，1)(Z值表)，這個函數關注的則是：
§  常態密度函數的方程式 (cumulative = FALSE) 為：F(χ; μ, σ) = [ 1 / (σ (2 π)^1/2) ] exp{ -1[(χ-μ)^2] / 2σ^2}=常態分布期間的機率質量函數(cumulative=0)恰好等於x。
§  當 cumulative = TRUE 時，公式即為從無限大的負數到給定公式 x 的整數。 x=-∞ 到 x 的累積函數面積。

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標準常態分佈使用Excel的'=NORM.S.DIST(Z,1)，或使用常態分佈'=NORM.DIST(Z,0,1,1)完成的機率ε 表，記得要2ε才是Ф(u) ± ∞ 時，ε的機率值。

x軸	0	-0.01	-0.02	-0.03	-0.04	-0.05	-0.06	-0.07	-0.08	-0.09		x軸	0	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
-5.0	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000		5.0	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
-4.9	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000		4.9	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
-4.8	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000		4.8	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
-4.7	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000		4.7	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
-4.6	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000		4.6	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
-4.5	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000		4.5	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
-4.4	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000		4.4	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
-4.3	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000		4.3	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
-4.2	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000		4.2	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
-4.1	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000		4.1	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
-4.0	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000		4.0	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
-3.9	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000		3.9	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
-3.8	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001		3.8	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
-3.7	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001		3.7	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
-3.6	0.0002	0.0002	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001	0.0001		3.6	0.9998	0.9998	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
-3.5	0.0002	0.0002	0.0002	0.0002	0.0002	0.0002	0.0002	0.0002	0.0002	0.0002		3.5	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998
-3.4	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0002		3.4	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9998
-3.3	0.0005	0.0005	0.0005	0.0004	0.0004	0.0004	0.0004	0.0004	0.0004	0.0003		3.3	0.9995	0.9995	0.9995	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9997
-3.2	0.0007	0.0007	0.0006	0.0006	0.0006	0.0006	0.0006	0.0005	0.0005	0.0005		3.2	0.9993	0.9993	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9995	0.9995	0.9995
-3.1	0.0010	0.0009	0.0009	0.0009	0.0008	0.0008	0.0008	0.0008	0.0007	0.0007		3.1	0.9990	0.9991	0.9991	0.9991	0.9992	0.9992	0.9992	0.9992	0.9993	0.9993
-3.0	0.0013	0.0013	0.0013	0.0012	0.0012	0.0011	0.0011	0.0011	0.0010	0.0010		3.0	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990
-2.9	0.0019	0.0018	0.0018	0.0017	0.0016	0.0016	0.0015	0.0015	0.0014	0.0014		2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
-2.8	0.0026	0.0025	0.0024	0.0023	0.0023	0.0022	0.0021	0.0021	0.0020	0.0019		2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
-2.7	0.0035	0.0034	0.0033	0.0032	0.0031	0.0030	0.0029	0.0028	0.0027	0.0026		2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
-2.6	0.0047	0.0045	0.0044	0.0043	0.0041	0.0040	0.0039	0.0038	0.0037	0.0036		2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
-2.5	0.0062	0.0060	0.0059	0.0057	0.0055	0.0054	0.0052	0.0051	0.0049	0.0048		2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
-2.4	0.0082	0.0080	0.0078	0.0075	0.0073	0.0071	0.0069	0.0068	0.0066	0.0064		2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
-2.3	0.0107	0.0104	0.0102	0.0099	0.0096	0.0094	0.0091	0.0089	0.0087	0.0084		2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
-2.2	0.0139	0.0136	0.0132	0.0129	0.0125	0.0122	0.0119	0.0116	0.0113	0.0110		2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
-2.1	0.0179	0.0174	0.0170	0.0166	0.0162	0.0158	0.0154	0.0150	0.0146	0.0143		2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
-2.0	0.0228	0.0222	0.0217	0.0212	0.0207	0.0202	0.0197	0.0192	0.0188	0.0183		2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
-1.9	0.0287	0.0281	0.0274	0.0268	0.0262	0.0256	0.0250	0.0244	0.0239	0.0233		1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
-1.8	0.0359	0.0351	0.0344	0.0336	0.0329	0.0322	0.0314	0.0307	0.0301	0.0294		1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
-1.7	0.0446	0.0436	0.0427	0.0418	0.0409	0.0401	0.0392	0.0384	0.0375	0.0367		1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
-1.6	0.0548	0.0537	0.0526	0.0516	0.0505	0.0495	0.0485	0.0475	0.0465	0.0455		1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
-1.5	0.0668	0.0655	0.0643	0.0630	0.0618	0.0606	0.0594	0.0582	0.0571	0.0559		1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
-1.4	0.0808	0.0793	0.0778	0.0764	0.0749	0.0735	0.0721	0.0708	0.0694	0.0681		1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
-1.3	0.0968	0.0951	0.0934	0.0918	0.0901	0.0885	0.0869	0.0853	0.0838	0.0823		1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
-1.2	0.1151	0.1131	0.1112	0.1093	0.1075	0.1056	0.1038	0.1020	0.1003	0.0985		1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
-1.1	0.1357	0.1335	0.1314	0.1292	0.1271	0.1251	0.1230	0.1210	0.1190	0.1170		1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
-1.0	0.1587	0.1562	0.1539	0.1515	0.1492	0.1469	0.1446	0.1423	0.1401	0.1379		1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
-0.9	0.1841	0.1814	0.1788	0.1762	0.1736	0.1711	0.1685	0.1660	0.1635	0.1611		0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
-0.8	0.2119	0.2090	0.2061	0.2033	0.2005	0.1977	0.1949	0.1922	0.1894	0.1867		0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
-0.7	0.2420	0.2389	0.2358	0.2327	0.2296	0.2266	0.2236	0.2206	0.2177	0.2148		0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
-0.6	0.2743	0.2709	0.2676	0.2643	0.2611	0.2578	0.2546	0.2514	0.2483	0.2451		0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
-0.5	0.3085	0.3050	0.3015	0.2981	0.2946	0.2912	0.2877	0.2843	0.2810	0.2776		0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
-0.4	0.3446	0.3409	0.3372	0.3336	0.3300	0.3264	0.3228	0.3192	0.3156	0.3121		0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
-0.3	0.3821	0.3783	0.3745	0.3707	0.3669	0.3632	0.3594	0.3557	0.3520	0.3483		0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
-0.2	0.4207	0.4168	0.4129	0.4090	0.4052	0.4013	0.3974	0.3936	0.3897	0.3859		0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
-0.1	0.4602	0.4562	0.4522	0.4483	0.4443	0.4404	0.4364	0.4325	0.4286	0.4247		0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.0	0.5000	0.4960	0.4920	0.4880	0.4840	0.4801	0.4761	0.4721	0.4681	0.4641		0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
x軸	0	-0.01	-0.02	-0.03	-0.04	-0.05	-0.06	-0.07	-0.08	-0.09		x軸	0	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09

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=NORM.DIST (Z,0,1,1or0)	=NORM.S.DIST (Z,1or0)	描述μ±3σ =99.7%		=NORM.DIST (Z,0,1,1or0)	=NORM.S.DIST (Z,1or0)	描述μ±3σ =99.7%
3		給予評估 數值(x)		-3		給予評估 數值(x)
0		給予(母平 均值)μ=0		0		給予(母平 均值)μ=0
1		給予(母標 準差)σ=1		1		給予(母標 準差)σ=1
－∞～X(ε%)	－∞～X(ε%)			－∞～X(ε%)	－∞～X(ε%)
0.998650	0.998650	常態分布 期間的累 加分配函數		0.001350	0.001350	常態分布 期間的累 加分配函數
0.004432	0.004432	常態分布 期間的機 率質量函數		0.004432	0.004432	常態分布 期間的機 率質量函數
=NORM.DIST (Z,0,1,1or0)	=NORM.S.DIST (Z,1or0)	描述μ±2σ =95.4%		=NORM.DIST (Z,0,1,1or0)	=NORM.S.DIST (Z,1or0)	描述μ±2σ =95.4%
2		給予評估 數值(x)		-2		給予評估 數值(x)
0		給予(母平 均值)μ=0		0		給予(母平 均值)μ=0
1		給予(母標 準差)σ=1		1		給予(母標 準差)σ=1
－∞～X(ε%)	－∞～X(ε%)			－∞～X(ε%)	－∞～X(ε%)
0.977250	0.977250	常態分布 期間的累 加分配函數		0.022750	0.022750	常態分布 期間的累 加分配函數
0.053991	0.053991	常態分布 期間的機 率質量函數		0.053991	0.053991	常態分布 期間的機 率質量函數
=NORM.DIST (Z,0,1,1or0)	=NORM.S.DIST (Z,1or0)	描述μ±1σ =68.3%		=NORM.DIST (Z,0,1,1or0)	=NORM.S.DIST (Z,1or0)	描述μ±1σ =68.3%
1		給予評估 數值(x)		-1		給予評估 數值(x)
0		給予(母平 均值)μ=0		0		給予(母平 均值)μ=0
1		給予(母標 準差)σ=1		1		給予(母標 準差)σ=1
－∞～X(ε%)	－∞～X(ε%)			－∞～X(ε%)	－∞～X(ε%)
0.841345	0.841345	常態分布 期間的累 加分配函數		0.158655	0.158655	常態分布 期間的累 加分配函數
0.241971	0.241971	常態分布 期間的機 率質量函數		0.241971	0.241971	常態分布 期間的機 率質量函數

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