我：
排列組合與機率計算(十八) Excel中NORM.DIST函數使用 。成績低，題太難；應簡化。壞品多，查機器。風險高，慎投資。血壓異，需關注。高消費，促銷誘。
一、教育領域：學生考試成績分佈
🙋實際意義：
教師可據此調整題目難易度，若高分人數過少，可能需降低考試難度🤗。
未學統計前(情感分析)：分數這麼低，連我也開始懷疑自己。
學了統計後(科學分析)：若高分者稀少，代表出題過難，應顧及學生學習公平。
學了統計後(科學分析)：老師宜依成績調整題目難度，促進有效教學。
二、生產管理：產品質量控制
🤷預期不良品數量：
10,000×0.0456=456 顆10,000×0.0456=456顆
🙋實際意義：
若不良率超過5%，工廠需檢查機器精度或調整製程參數🤗。
未學統計前(情感分析)：看著一堆壞品，只覺得浪費可惜。
學了統計後(科學分析)：品質不穩，影響客戶信任與公司聲譽。
學了統計後(科學分析)：壞品達四百，應即檢查機械是否失誤。
三、金融投資：股票報酬率風險評估
🙋實際意義：
投資人可根據風險承受度（如虧損機率）決定是否投資🤗。
未學統計前(情感分析)：虧損的風險太大，令人卻步。
學了統計後(科學分析)：盲目投資非負責態度，應以審慎為本。
學了統計後(科學分析)：若風險過高，應暫緩投資，靜觀其變。
四、醫療領域：血壓正常範圍評估
🙋實際意義：
醫療機構可據此制定健康標準，例如關注血壓低於60或高於100的族群🤗。
未學統計前(情感分析)：脈象異常讓人不安。
學了統計後(科學分析)：醫者責在察微病於早期，勿輕忽症兆。
學了統計後(科學分析)：血壓若低於六十或高於百，當即詳診原因。
五、零售業：顧客消費金額預測
🙋實際意義：
商店可針對高消費客群（>700元）設計促銷活動🤗。
未學統計前(情感分析)：顧客買得多，讓人期待再訪。
學了統計後(科學分析)：顧客價值應被尊重，而非僅視為利潤來源。
學了統計後(科學分析)：若單筆消費超七百，可推優惠強化回購。
常態分佈Excele使用函數'=NORM.DIST(x,0,1,cumulative =1or0)。
§ 如果 mean = 0，standard_dev = 1，且 cumulative = TRUE，則 NORM.DIST 會傳回標準常態分配 NORM.S.DIST。
§ 常態密度函數的方程式 (cumulative = 0) 為：F(χ; μ, σ) = [ 1 / (σ (2 π)^1/2) ] exp{ -1[(χ-μ)^2] / 2σ^2}：常態分布期間的機率質量函數(C=0)恰好等於x。
§ 當 cumulative = 1 時，公式即為從－∞無限大的負數到給定公式 x 的整數。
評估x的機率分布面積，數軸左半負值是0.5，數值右半正值是0.5。
當x-μ/σ=Z為負值，以Z=-2=0.0228。機率分布面積最左側僅有一小段1σ表示在x以下是0.0228的機率。
當x-μ/σ=Z為負值，以Z=-2=0.0228。表示在x以上是機率分布面積右側3σ+2σ=1-0.0228=0.9772的機率。
當x-μ/σ=Z為正值，以Z=+2=0.9772。機率分布面積最右側僅有一小段1σ表示在x以上是1-(0.9772)=0.0228的機率。
當x-μ/σ=Z為正值，以Z=+2=0.9772。表示在x以下是機率分布面積左側3σ+2σ=0.9772的機率。
評估介於兩個x之間的機率分布面積
整個曲線面積1減去x右側以上，x左側以下面積。
評估不介於兩個x之間的機率分布面積
x右側以上面積加上x左側以下面積。
平均智商=110，標準差=10。評估x=123時，從－∞到z涵蓋90.23%機率，從＋∞到z涵蓋9.68%機率。
|
平均智商=110， |
=NORM.DIST |
Z |
1-x |
|
給予評估數值(x) |
123 |
1.3 |
9.68% |
|
給予(母平均值)μ=0 |
110 |
|
|
|
給予(母標準差)σ=1 |
10 |
|
|
|
常態分布期間的累加分配函數(C=1) |
0.903200 |
從－∞到z |
從＋∞到z |
|
常態分布期間的機率質量函數(C=0)恰好等於x |
0.017137 |
|
|
平均智商=110，標準差=10。評估x=？時。
|
x |
x-μ/σ=Z |
=NORM.DIST |
x(ε是 Ф(u) - ∞ 到 x時， |
1-x |
=NORM.DIST |
|
86 |
-2.4 |
0.0082 |
0.82% |
99.18% |
0.0022 |
|
89 |
-2.1 |
0.0179 |
1.79% |
98.21% |
0.0044 |
|
92 |
-1.8 |
0.0359 |
3.59% |
96.41% |
0.0079 |
|
95 |
-1.5 |
0.0668 |
6.68% |
93.32% |
0.0130 |
|
98 |
-1.2 |
0.1151 |
11.51% |
88.49% |
0.0194 |
|
101 |
-0.9 |
0.1841 |
18.41% |
81.59% |
0.0266 |
|
104 |
-0.6 |
0.2743 |
27.43% |
72.57% |
0.0333 |
|
107 |
-0.3 |
0.3821 |
38.21% |
61.79% |
0.0381 |
|
110 |
0 |
0.5000 |
50.00% |
50.00% |
0.0399 |
|
113 |
0.3 |
0.6179 |
61.79% |
38.21% |
0.0381 |
|
116 |
0.6 |
0.7257 |
72.57% |
27.43% |
0.0333 |
|
119 |
0.9 |
0.8159 |
81.59% |
18.41% |
0.0266 |
|
122 |
1.2 |
0.8849 |
88.49% |
11.51% |
0.0194 |
|
125 |
1.5 |
0.9332 |
93.32% |
6.68% |
0.0130 |
|
128 |
1.8 |
0.9641 |
96.41% |
3.59% |
0.0079 |
|
131 |
2.1 |
0.9821 |
98.21% |
1.79% |
0.0044 |
|
134 |
2.4 |
0.9918 |
99.18% |
0.82% |
0.0022 |
Deepseek：
Excel中NORM.DIST函數使用詳解
嗯，好，我先來看看這位使用者提供的資料，內容是關於 Excel 裡 NORM.DIST 這個函數的用法，還有一些跟「常態分布」有關的例子。
看起來，他可能是在學怎麼用這個函數來算機率，像是智商評估這類的東西。
他舉了一個例子：
x 是 123，平均值是 110，標準差是 10，他想知道這樣的累積機率是多少，還問對應的 Z 值和左右兩邊的機率。
我們來算算：Z 值就是 (123 - 110) ÷ 10 = 1.3。
這時候累積機率（用 NORM.DIST 函數）就是 Z = 1.3 時的值，差不多是 0.9032，也就是有 90.32% 的人智商比 123 低。
那右邊剩下的機率就是 1 - 0.9032 = 0.0968，換句話說，有 9.68% 的人智商比 123 高。這樣的算式是對的，因為查表 Z=1.3 對應的確實是 0.9032。
接著，他還列了一張表格，裡面放了好幾個 x 值，對應的 Z 值、累積機率、剩下的機率（也就是 1-累積機率）和機率密度（PDF）的值。
比方說：x = 86，Z 值就是 (86-110) ÷ 10 = -2.4。累積機率是 0.0082，也就是只有 0.82% 的人智商比 86 更低；右邊的機率就是 99.18%。
再來看看機率密度的值，他說是 0.0022，我們也來驗算一下。PDF 的公式其實是：
(1 ÷ (σ × √2π)) × exp(-((x - μ)² ÷ 2σ²))
代進去：σ 是 10，x - μ 是 -24，算出來的確差不多是 0.0022，這也沒錯。
從這些例子看起來，這位使用者的計算基本上是對的。他應該是想確認自己有沒有正確使用 NORM.DIST，也可能想知道怎麼用這些結果來解釋實際問題。
他還提到：當 Z 是負的時候，比如 Z = -2，累積機率就是 0.0228，意思是只有 2.28% 的數值比它小。那比它大的就是 1 - 0.0228 = 0.9772，也就是 97.72%。這也正確；Z = 2 的時候剛好反過來。
如果想知道兩個 x 值之間的機率，他提到可以用「大的累積機率 - 小的累積機率」來算。這想法也沒錯。
例如，如果想知道 IQ 在 90 到 120 之間有多少人，就用：
NORM.DIST(120,110,10,TRUE) - NORM.DIST(90,110,10,TRUE)
這樣就能算出落在這段範圍裡的比例。
他還舉了一個例子：
x = 122，Z = 1.2，累積機率是 0.8849，意思就是有 88.49% 的人智商比 122 低。那另外 11.51% 就是比這個高的。
而 PDF 的值是 0.0194，代表這個點附近的密度，不是實際機率，因為在連續分布裡，一個點的機率是零。
使用者也想知道：如果已經知道某個機率，能不能反推回對應的 x 值？可以，這就要用 NORM.INV 函數。舉個例子：
NORM.INV(0.95,110,10)
這意思是：找到累積機率是 0.95 的 x 值，大概是 110 + 10×1.6449 = 126.45。所以，智商大約 126.45 就代表前 5% 的人。
他最後還提到一些數值的檢查，比如 x = 101，Z = -0.9，累積機率是 0.1841。這也是對的，查表就可以確認。
以下是關於使用Excel的NORM.DIST函數及常態分佈的詳細解析：
一、NORM.DIST函數基礎
- 語法
=NORM.DIST(x, μ, σ, cumulative)x：要評估的數值。μ：平均值（均值）。σ：標準差（需大於0）。cumulative：1 (TRUE)：計算從負無窮到x的累積機率（CDF）。0 (FALSE)：計算x點的概率密度（PDF）。
- 標準常態分佈特例
若μ=0,σ=1，且cumulative=TRUE，則NORM.DIST(x,0,1,1)等效於NORM.S.DIST(x,1)。
二、關鍵公式與應用
1. Z值計算
標準化公式：
- 範例：當智商平均值
μ=110，標準差σ=10，x=123時：
2. 累積分佈函數（CDF）
- 公式：
- 解讀：
- 當Z=1.3時，CDF值為0.9032，表示90.32%的機率分佈在x≤123（左側）。
- 右側機率：
1 - 0.9032 = 0.0968（即9.68%）。
3. 概率密度函數（PDF）
- 公式：
- 範例：x=123時，PDF值為0.0171，表示該點的相對可能性密度（非實際機率）。
三、數值驗證與表格解析
以下驗證用戶提供的智商分佈表格（節選）：
|
x |
Z值 |
CDF（累積機率） |
左側機率 |
右側機率 |
PDF（密度） |
|---|---|---|---|---|---|
|
86 |
-2.4 |
0.0082 |
0.82% |
99.18% |
0.0022 |
|
110 |
0 |
0.5000 |
50.00% |
50.00% |
0.0399 |
|
123 |
1.3 |
0.9032 |
90.32% |
9.68% |
0.0171 |
- 驗證範例（x=86）：
- Z = (86-110)/10 = -2.4
- CDF：查標準常態表，Φ(-2.4)=0.0082（正確）。
- PDF計算：f(x)=(1/σ√2π)．e^−[(x−μ)^2]/(2σ^2
四、區間機率計算
- 介於x₁與x₂之間的機率：
- 範例：計算智商介於90到120的機率：
- 不介於x₁與x₂之間的機率：
五、反向查找：從機率求x值
使用 NORM.INV(probability, μ, σ)：
- 範例：求智商前10%對應的x值：
六、總結
- CDF 用於計算「小於等於x」的累積機率。
- PDF 表示特定點的密度，非實際機率。
- Z值標準化 便於查表或跨不同分佈比較。
- 區間機率需用CDF差值計算。
透過以上步驟，可系統性應用Excel函數分析常態分佈問題。
實際於日常生活中舉例：
一、教育領域：學生考試成績分佈
情境
某次考試平均分數為 75分，標準差為 10分，共 1000名學生。學生分數分佈假設服從常態分佈，
問題：
- 分數高於90分的學生有多少人？
- 分數介於60分到80分的學生佔比多少？
Excel操作步驟
- 計算分數高於90分的人數：
- Z值：
- 右側機率：
=1-NORM.DIST(90,75,10,1)→ 0.0668（6.68%） - 人數：
- 分數介於60到80分的佔比：
- 計算CDF：
=NORM.DIST(80,75,10,1)→ 0.6915=NORM.DIST(60,75,10,1)→ 0.0668
- 計算CDF：
- 區間機率：
- 人數：
🙋實際意義：
教師可據此調整題目難易度，若高分人數過少，可能需降低考試難度🤗。
未學統計前(情感分析)：分數這麼低，連我也開始懷疑自己。
學了統計後(科學分析)：若高分者稀少，代表出題過難，應顧及學生學習公平。
學了統計後(科學分析)：老師宜依成績調整題目難度，促進有效教學。
二、生產管理：產品質量控制
情境
某工廠生產螺絲，長度分佈假設服從常態分佈，平均 50mm，標準差 0.5mm。
規格要求：長度需在 49mm~51mm 之間，否則視為不良品。
問題：
- 產品的不良率是多少？
- 若每日生產10,000顆螺絲，預期不良品數量？
Excel操作步驟
- 計算不良率：
- 左側不良（<49mm）機率：
=NORM.DIST(49,50,0.5,1)→ 0.0228（2.28%） - 右側不良（>51mm）機率：
=1 - NORM.DIST(51,50,0.5,1)→ 0.0228（2.28%）
- 左側不良（<49mm）機率：
- 總不良率：
🤷預期不良品數量：
🙋實際意義：
若不良率超過5%，工廠需檢查機器精度或調整製程參數🤗。
未學統計前(情感分析)：看著一堆壞品，只覺得浪費可惜。
學了統計後(科學分析)：品質不穩，影響客戶信任與公司聲譽。
學了統計後(科學分析)：壞品達四百，應即檢查機械是否失誤。
三、金融投資：股票報酬率風險評估
情境
Excel操作步驟
🙋實際意義：
投資人可根據風險承受度（如虧損機率）決定是否投資🤗。
未學統計前(情感分析)：虧損的風險太大，令人卻步。
學了統計後(科學分析)：盲目投資非負責態度，應以審慎為本。
學了統計後(科學分析)：若風險過高，應暫緩投資，靜觀其變。
四、醫療領域：血壓正常範圍評估
情境
Excel操作步驟
🙋實際意義：
醫療機構可據此制定健康標準，例如關注血壓低於60或高於100的族群🤗。
未學統計前(情感分析)：脈象異常讓人不安。
學了統計後(科學分析)：醫者責在察微病於早期，勿輕忽症兆。
學了統計後(科學分析)：血壓若低於六十或高於百，當即詳診原因。
五、零售業：顧客消費金額預測
情境
Excel操作步驟
🙋實際意義：
商店可針對高消費客群（>700元）設計促銷活動🤗。
未學統計前(情感分析)：顧客買得多，讓人期待再訪。
學了統計後(科學分析)：顧客價值應被尊重，而非僅視為利潤來源。
學了統計後(科學分析)：若單筆消費超七百，可推優惠強化回購。
六、Excel操作通用技巧
七、注意事項
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