管制圖-排列組合機率83

 以下書中筆記心得摘錄內容及例題來自四十年前的書為：發行時間於民國75年一月，修訂第二十版，由中興管理顧問公司發行，書名：品質管制與工廠統計一書，譯者：陳文哲(現任國立交通大學管理科學研究所專任教授)，黃清連(中國鋼鐵股份有限公司技術開發處長)。原著者為中井重行(早稻田大學工業經營科主任)，池澤辰夫(早稻田大學工學教授)。

以下是接續分類在排列與組合與機率的後續，因為性質關係，所以分類放在數學常識這裏。

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管制圖的原理：

在符合常態分布前篇常見到的曲線分布，x￣分配之標準差σx￣。σx￣=σ/√n ‧ FPC。當n>4的時候，σx￣=σ / >2，即表示樣本數在4以上時，σx￣=σ/√n之x￣之分配必近似常態分配。

若兩者相差不大，n/N＞1/10，須修正，σx￣=σ/√n X  FPC修正係數。(Finite Population Correction)

若兩者差距大，n/N≦1/10，則修正係數=(N-n/N-1)≒N/N≒1，σx￣=σ/√n X 1。

請注意σx￣(標準誤差)有三種型式考量樣本大小與群(母)體的推估方法。

偏倚區間=x￣(標準差)±(σx￣(標準誤差)X Z值（標準常態分佈Ｕ的某點的值)

以(μ，σ^2 / N)的常態分佈Ｕ的某點區間推定：x￣－σx￣ *Ｚ  ＜μ＜ x￣＋σx￣ *Ｚ 。

對數據分布來觀察，因為樣本數量N的存在，使得母(群)體平均值μ = 樣本平均值x￣(或μ =xbar-bar-)，這是一切的基礎與起源。

在一般之常態分布，因母(群)體平均值μ及母(群)體標準值σ值不同，F(x)(U常態分配機率函數)亦異，將μ=0及σ=1值帶入F(x)，變換式後，得到u=x-μ/σ，故成為f(u)=標準化的常態分配機率函數。

由：F(χ) = [ 1 / (σ(2 π)^1/2) ] exp{ -1[(χ-μ)^2] / 2σ^2}，

變成Ф(u) = [ 1 / (σ(2 π)^1/2) ] exp{ -1[(  u  )^2] / 2σ^2}。

u=χ-μ/σ，μ=0，σ=1，u=χ-0/1，u=χ。X→-∞∫X+∞ Ф(u) d(u)。

對機率曲線分布全域來講，會是：σ^2=[N Σ i=1] (Xi-μ)^2  / N。σ=√[N Σ i=1] (Xi-μ)^2  / N。

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這樣就有了管制圖的：μ±1σ=0.683。μ±2σ=0.955。μ±3σ=0.997。機率曲線範圍，由X→-∞∫X+∞總面積=1。

對曲線上的任一點μ值來講，它所在的位置是=σ^2 / N。因為母(群)體平均值μ = 樣本平均值x￣。

推導出：相同的x￣^2/N，依舊是機率曲線全範圍。

而後，我們專注於±域的右半部，∫X+∞這個部分。所以，整個曲線評估就會變成：σ/ √N 或是σx/ √n。

好了，定義完成：在符合常態分布前篇常見到的曲線分布，x￣分配之標準差σx￣。σx￣=σ/√n ‧ FPC。然後推導成Z(ε%)=x￣－μ / σx￣ =x￣－μ / σ / √n  

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但管制圖製作，其實已在前篇的期望值與估計母(群)體標準差σ那邊，為了估計母數的出現，而對趨勢曲線給予了c2與d2兩個依樣本n大小而異的變換係數。

樣本平均x￣分配之期望值E(x￣)=母(群)體平均值μ

樣本偏差平方和S分配之期望值E(S)=母(群)體標準差平方σ^2 ‧(n-1) (請參考分類排列與組合於機率後面幾篇)

樣本變異數S^2分配之期望值E(S^2)=母(群)體標準差平方σ^2 ‧(n-1/n) (請參考分類排列與組合於機率後面幾篇)

樣本標準差s分配之期望值E(s)=母(群)體標準差σ ‧ c2 。σ=E(s/c2)。(這各c2是相關係變數，是給平均值s管制圖用的)

樣本全距R分配之期望值E(R)(或R￣)=母(群)體標準差σ ‧ d2 。σ=E(R/d2)或σ=E(R￣/d2)。(這各d2是相關係變數，是給全距R管制圖用的)

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σ=E(s/c2)跟σ=E(R/d2)這兩個係數與σ的關係確定，

在x1…之分配成為標準差σ時，其平均值x1￣...之分配標準差為：σx￣=σ/√n。

σx￣=σ/√n，3σ界限=3(σ/√n)。故管制界限=中心線±3σ=Xbar-bar-±3(σ/√n)。

還記得標準常態機率曲線時，樣本與母(群)體之關係嗎?σ可以導出Z(ε%)的μ±1σ=0.683。μ±2σ=0.955。μ±3σ=0.997。那σ/√n也同樣的以導出同樣的情況。

樣本的標準差全距：=x￣max-x￣min，以及前面所定義的以(R￣/d2)推定σ：σ=(R￣/d2)，這樣引入前面的管制界限=中心線±3σ。等同於：μ±3(σ/√n)，然後估計值約等於Xbar-bar-±3(R￣/d2√n)

管制界限=X-bar-bar±3(R￣/d2√n)。展開=X-bar-bar-±(3/d2√n)．R￣，然後把這個有d2的式子，定義個A2係數給它：(3/d2√n)=A2。所以管制界限=X-bar-bar±A2．R￣。

定義：(3/d2√n)=A2。(管制圖A2的由來)

同樣的方式，如果令估計用的那個機率曲線等同於σ的寬度，同樣依全距R的 方式，那寬度(w)=R/σ，推導σR=σw．σ=d3．(R￣/d2)。σR=(d3/d2)．R￣。

σR=(d3/d2)．R￣，再帶入：管制界限=μ±3σ。管制界限=μR±3σR。估計值約等於R￣±3(d3/d2)R￣。將R￣提出式子變成能共乘的因子。(1+3(d3/d2))．R￣與(1-3(d3/d2))．R￣

定義：(1+3(d3/d2))．R￣=D4。(管制圖D4的由來)

定義：(1-3(d3/d2))．R￣=D3。(管制圖D3的由來)

所以一切的根源在於：σ^2=[N Σ i=1] (Xi-μ)^2  / N。σ=√[N Σ i=1] (Xi-μ)^2  / N。然後訂中心CL這個基準，因為對數據分布來觀察，因為樣本數量N的存在，使得母(群)體平均值μ = 樣本平均值x￣(或μ =xbar-bar-)，這是一切的基礎與起源。

μ是CL中心線。管制界限是：μ±3σ。這個的意思是指：在機率曲線分布中，1000個產品，有997個在μ±3σ內，其兩側各有1.5個，合計3個超出界線，可視為冒險率3%，為第一型錯誤，公司成本，此種並無異常原因，而急忙詩怡調查分析，使其公司蒙受損失的機會。

但若其管制界限太寬時(μ± >3σ)時，雖減少公司調查成本，但導致消費者成本增加，即異常數據可能含於該界限內，以致真正異常原因發生時，未及注意而受客訴大增的損失。

所以中心基準 d2這個期望值定義，d2=R￣/σ。

所以中心基準 c2這個期望值定義，c2=s/σ。

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製程之變動以組內變動+組間變動

x￣ - R (平均值與全域)管制圖

x￣ 管制圖：組間變動，例：在製程中，每小時抽取1個樣本，8小時共抽8個樣本，為x1+…+x8。

R 管制圖：組內變動，例：在製程中，每4小時抽一次，一次抽4個樣本，8小時共抽8個樣本，為x1+…+x8。

全變動=組組內變動+組間變動。

x￣ 管制圖之變動以變異數表示，則其全變動為：x￣ 之變異數 σx￣^2。

全變動σx￣^2=組內變異數 σw^2 / n + 組間變異數 σb^2。組內變異數係因樣本數n而異，故需 / n 表示。

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所謂x￣ - R (平均值與全域)管制圖同時顯示評估比對原因：

即是將組內變動分組使其成為偶然變動，以此判定組內變動與組間變凍間是否有顯著差異。

觀察兩個管制圖時，若發現其異常原因皆在某個組內發生，或組內變動異常於組間變動，過大或過小，即表示：此分組非為合理之分組，無法達到分離真正異常原因之目的。

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以下全是從網路上找來的知識：

https://www.researchmfg.com/2016/05/control-charts-factors/

管制圖管制界限與中心值之因子系數表，管制界限通常為：μ±3σ。3σ要變成2σ需要再*2/3。3σ要變成1σ需要再*1/3。

	x̄ 平均值圖			σ 標準差圖					R 全距圖
樣本量	管制 界限 的 因素			中心線 的因數	管制 界限 的 因素				中心 線 的因 數		管制 界限 的 因數
n	A	A1	A2	C2	B1	B2	B3	B4	d2	d3	D1	D2	D3	D4
2	2.121	3.76	1.88	0.5642	0	1.843	0	3.267	1.128	0.853	0	3.686	0	3.267
3	1.732	2.394	1.023	0.7236	0	1.858	0	2.568	1.693	0.888	0	4.358	0	2.575
4	1.5	1.88	0.729	0.7979	0	1.808	0	2.266	2.059	0.88	0	4.698	0	2.282
5	1.342	1.596	0.577	0.8407	0	1.756	0	2.089	2.326	0.864	0	4.918	0	2.115
6	1.225	1.41	0.483	0.8686	0.026	1.711	0.03	1.97	2.534	0.848	0	5.078	0	2.004
7	1.134	1.277	0.419	0.8882	0.105	1.672	0.118	1.882	2.704	0.833	0.205	5.203	0.076	1.924
8	1.061	1.175	0.373	0.9027	0.167	1.638	0.185	1.815	2.847	0.82	0.387	5.307	0.136	1.864
9	1	1.094	0.337	0.9139	0.219	1.609	0.239	1.761	2.97	0.808	0.546	5.394	0.184	1.816
10	0.949	1.028	0.308	0.9227	0.262	1.584	0.284	1.716	3.078	0.797	0.687	5.469	0.233	1.777
11	0.905	0.973	0.285	0.93	0.299	1.561	0.321	1.679	3.173	0.787	0.812	5.534	0.256	1.744
12	0.866	0.925	0.266	0.9359	0.331	1.541	0.354	1.646	3.258	0.778	0.924	5.592	0.284	1.716
13	0.832	0.884	0.249	0.941	0.359	1.523	0.382	1.618	3.336	0.77	1.026	5.646	0.308	1.692
14	0.802	0.848	0.235	0.9453	0.384	1.507	0.406	1.594	3.407	0.762	1.121	5.693	0.329	1.671
15	0.775	0.816	0.223	0.949	0.406	1.492	0.428	1.572	3.472	0.755	1.207	5.737	0.348	1.652
16	0.75	0.788	0.212	0.9523	0.427	1.478	0.448	1.552	3.532	0.749	1.285	5.779	0.364	1.636
17	0.728	0.762	0.203	0.9551	0.445	1.465	0.466	1.534	3.588	0.743	1.359	5.817	0.379	1.621
18	0.707	0.738	0.194	0.9576	0.461	1.454	0.482	1.518	3.64	0.738	1.426	5.854	0.392	1.606
19	0.688	0.717	0.187	0.9599	0.477	1.443	0.497	1.503	3.689	0.733	1.49	5.888	0.404	1.596
20	0.671	0.697	0.18	0.9619	0.491	1.433	0.51	1.49	3.735	0.729	1.548	5.922	0.414	1.586
21	0.655	0.679	0.173	0.9638	0.504	1.424	0.523	1.477	3.778	0.724	1.606	5.95	0.425	1.575
22	0.64	0.662	0.167	0.9655	0.516	1.415	0.534	1.466	3.819	0.72	1.659	5.979	0.434	1.586
23	0.626	0.647	0.162	0.907	0.527	1.427	0.545	1.455	3.885	0.716	1.71	6.006	0.443	1.557
24	0.612	0.632	0.157	0.9684	0.538	1.399	0.555	1.445	3.895	0.712	1.759	6.031	0.452	1.548
25	0.6	0.919	0.153	0.9696	0.548	1.392	0.565	1.435	3.931	0.709	1.804	6.058	0.459	1.541

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http://ir.lib.cyut.edu.tw:8080/bitstream/310901800/33260/4/chapter%203.pdf

管制圖-計量值管制圖

x￣ - R (平均值與全域)管制圖

x￣ 管制圖

CL中心=xbar-bar-

管制界限=xbar-bar- ± A2 R￣ 

R 管制圖

CL中心= R￣ 

UCL=D4 R￣ 

LCL=D3 R￣ 

x￣ - s (平均值與標準差)管制圖

x￣管制圖

CL中心=xbar-bar-

管制界限=xbar-bar- ± A3 s￣ 

s 管制圖

CL中心= s￣ 

UCL=B4 s￣ 

LCL=B3 s￣ 

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管制圖-計數值管制圖

p(不良率管制圖)

pn(不良數管制圖)

c(缺點數管制圖)

u(每單位缺點數管制圖)

p(不良率管制圖)

E(X)=np，Var(X)=np(1-p)，X為須符合二項式分配之隨機變數。

p=r(樣品中不良品數)/n(樣本總數)

CL平均不良率p￣ =Σr(各組樣品中不良品數之總和)/Σn(各組樣本數之總和)

標準化管制界限= p￣ ±  3 ．√ ( (p￣(1-p￣) ) / n ) 

變動管制界限= p￣ ±  3 ．√ ( (p￣(1-p￣) ) / ni ) 

pn(不良數管制圖)

CL平均不良率np￣  =n． Σr(各組樣品中不良品數之總和)/Σn(各組樣本數之總和)

標準化管制界限= np￣ ±  3 ．√ ( (np￣(1-p￣) ) 

c(缺點數管制圖)

c￣ =Σr(各組樣品中缺點數之總和)/Σn(各組樣本數之總和)

CL平均缺點數率c￣ =Σr(各組樣品中缺點數之總和)/Σn(各組樣本數之總和)

標準化管制界限= c￣ ±  3 ．√ (  c￣ ) 

u(每單位缺點數管制圖)

f(X=x)= c^x e^-c /x! ，μ=σ^2=c。

u=c/n

u￣=Σc(各組樣品中每單位缺點數之總和)/Σn(各組樣本數之總和)

CL平均缺點數率u￣ =Σc(各組樣品中每單位缺點數之總和)/Σn(各組樣本數之總和)

標準化管制界限= u￣ ±  3 ．√ (  u￣ / n )。= u￣ ±  3 ．(√ (  u￣)) ．(√(1 / n ))。