以近似常態分布機率函數，樣本:n，x￣，σx，由上限與下限的差距，產出全距R。-排列組合機率70

 

機率上承排列組合，下接製程管制。---還記得二項分布的機率，當擲一骰子(一實驗) X 一次(N=1)時，有0.5%機率是正面(通過，證真，go)，有0.5%機率是正反面(不通過，證假，NOgo)，逐漸擲多次N→∞，所得到的分布機率函數，兩邊±一起看曲線分布，因為看起來很像鐘型，又叫做鐘型分布曲線，又因大量在現實(實際)上好像有某種關聯都隱隱約約很接近它，又叫常態分布機率。

---接著，因為是多個原因造成的某種機率分布，既然是機率總有不確定性，且大數(大量數據)下的偏倚誤差又搞不清楚為什麼？---例如說：平均值μ=1/N (數組項數)X (x1+…+xN)(數組總和) ，變數與平均值的偏倚偏差： x - μ (數組內某數與數組平均差距)。

從一千二百年來，不斷的修訂，增加許許多多的分布評估，解釋，估計，，調整，修訂等等係數。名稱很繁瑣複雜，但其內全是來自數學分解推導這些 機率 到底在做什麼？

舉例來說：前五篇討論到：變異數σ^2=(x - μ)^2 / n^2，標準差σ= √( x - μ)^2  / n，平均值的標準差σx￣=σ^2x=σ^2 / n→σ/√n=σx￣X FPC修正係數。---FPC修正係數。(Finite Population Correction)，樣本元素為可重復組合：FPC(H(N,n))→√(N+n/N+1)，樣本元素為不可重復組合：FPC(C(N,n))→√(N-n/N-1)。若兩者差距大，n/N≦1/10，則修正係數=(N-n/N-1)≒N/N≒1，σx￣=σ/√n X 1。，可是我們之後看到的都是樣本與群體都是用當N大於n時，估計數遠大於樣本抽樣時，想當然爾(估計，內心小劇場預測)就會是≒N/N≒1，要不然就是(N-n/N-1)=n/N≦???某個數。

到了現實製程管制部份：

觀察機率分布曲線上Y軸各點在X軸上的情況：記住群體平[均值σ=樣品平均值x￣為：機率曲線中央CL點。

群體:N， μ，σ以常態分布機率函數，由-∞到x￣到+∞共±3個Z值，Z值6個水準，以近似常態分布機率函數，樣本:n，x￣，σx，由上限與下限的差距，產出全距R。由製程規格之(x￣)CLx￣，後得出UCLx￣(規格上限)與LCLx￣(規格下限)，後推導成為Ca，Cp，Cpk。

UCLx￣=x￣+3個Z值(σx)，這個(σx)的評估：

(σx)是觀察機率分布曲線上的－∞～X～＋∞∫F(χ; μ, σ) = [ 1 / (σ (2 π)^1/2) ] exp{ -1[(χ-μ)^2] / 2σ^2}之常態分布，數學期望值或期望值u等於位置母數，決定了分布的位置；其變異數σ^2的^(1/2)開平方等於標準差σ等於尺度母數，決定了分布的幅度。而後Z值則是：Ф(u) = [ 1 / (σ(2 π)^1/2) ] exp{ -1[(  u  )^2] / 2σ^2}。u=χ-μ/σ，μ=0，σ=1，u=χ-0/1，u=χ。X→-∞∫X+∞ Ф(u) d(u)。

Excel 中使用=NORM.S.DIST(Z ，1)(Z值表)，這個函數關注的則是： §  常態密度函數的方程式 (cumulative = FALSE) 為：F(χ; μ, σ) = [ 1 / (σ (2 π)^1/2) ] exp{ -1[(χ-μ)^2] / 2σ^2}=常態分布期間的機率質量函數(C=0)恰好等於x。

§  當 cumulative = TRUE 時，公式即為從無限大的負數到給定公式 x 的整數。 x=-∞ 到 x 的累積函數面積。
UCLx￣=x￣+3個Z值(σx)
LCLx￣=x￣-3個Z值(σx)
R=√(UCLx￣^2)+√(LCLx￣^2)=x￣±3個Z值(σx)

每一批Z(ε%)是由=  x￣  -  μ  /    σ x￣  ，再用Excel =NORM.S.DIST(Z,1)計算－∞→x￣ 的Z(ε%)。
當符合足夠抽樣比時，這樣就可以使用標準常態分布方式來計算95%偏倚信賴區間：即Z{0.025}=1.96，即兩邊Z=0.05(5%)，1-0.05=0.95=95%。
95%偏倚區間=x￣(標準差)±(σx￣(標準誤差X 1.96值)

參考此網址https://www.zhihu.com/question/31433710，可以計算n在大於4個時，推算出各個係數的值，因舊時不可能一直重算，重推導數學式，所以能簡易將常用情況造成的評估值製成表格資料，以利使用。

若N(μ,σ^2)，則  x￣=(1/n) X  nΣi=1 xi時，則μ=σx￣=E(x￣)
=x￣的x￣期望值(標準差)=CL。在UCL和LCL，以σ/√n=E(R)/UCL和LCL的d2，則μ+3σ/√n這樣的距離，會近似於UCL= E(x￣)+3σ/√n=E(x￣)+3 (1/√n)d2(R￣)=x￣的x￣+A2(R￣)，這就是A2的由來。

同樣的方式在以全距，令W=R/σ，σw=d3，σR=σwσ=d3 (R￣)/d2，這樣其上限UCL=μR。會近似UCL= (R￣)+3 (d3/d2)R￣=(1+(3 (d3/d2)))R￣=D4R￣，其下限LCL=(1-(3 (d3/d2)))R￣=D3R￣，這就是D3，D4的由來