標準誤差例題計算每批重量分布於平均重量以上的機率-排列組合機率65

 

樣品數量5000，樣品重量平均375g，樣品重量標準差15.39。評估數量100，300，50各批出貨時，各批重量平均380g以上的機率。

答案須考慮，群體數與樣本數的差距，抽樣比例多少時，須乘上FPC修正項。若須乘上修正項，FPC有三種選擇，一是約等於1，二是屬於不可重複性影響的消耗性破壞性，故修正項等於C(N,n)√(N-n/N-1)，三是屬於可重複性的排列組合，故修正項等於H(N,n)√(N+n/N+1)。另須考慮，樣本數抽樣多少時，近似於常態分布，如此才能使用數學標準常態分布的累積分布函數Ф，u=標準化平均值的偏倚(把u=χ-μ/σ)，這樣的方式進行預估。

 

這答案都是有依據的，由這1122年以來人類最聰明的人，所累積經過千年時光的淘汰後的經驗知識。在人類無法完全認識事物本體，其所被影響的各個原因的限制條件下，樣本與群體的比例係數(相差愈大內含變異的因素排列組合的差距影響愈大)，在接近真實的分析下，所得到猜想的以數學函數曲線解答問題的答案。

若以1000為一批，則試推：1000/5000=1/5是屬於自我先定義的有限群體，其排列組合的結果有很大的機率是會影響到物體真實本質的機率的，那可能需要加乘修正項，又其抽樣性質是屬於不可重複性影響的消耗性破壞性，故修正項等於FPC=C(N,n)=√(N-n/N-1)。

常常會藉由抽樣(sampling)取得樣本資料，希望能藉由樣本資料，獲得樣本平均數與樣本變異數，利用樣本平均數(x￣)來估計母體平均數(μ)，與利用樣本變異數(s2)來估計母體變異數(σ2)，進而了解整個族群的狀況。σx￣=σ / √n  X   √(N-n/N-1)=  S / √n   X    √(N-n/N-1)。

 

žFPC約等於1，也就是群體與樣本數相差極大時，FPC可以忽略不計時。

以此批100，對重量380g以上的機率，其中計算標準誤差 σx￣= 15.39 / √100 X 1 =1.539。

以此批100，預測此批平均重量380g以上的機率，μ=375，x￣=380，σx￣=1.539

Z ε%=  x￣  -  μ  /    σx￣  = 380-375 / 1.539  = 5 / 1.539 =3.2489 ,'=NORM.S.DIST(Z,1)從-∞~X=0.999 420 663 5，求以上故1-ε%=0.000 579 336 5。

樣本平均值有95%偏倚信賴區間會落在：375±1.539X1.96的範圍內。

以此批300，對重量380g以上的機率，其中計算標準誤差 σx￣= 15.39 / √300 X 1=0.889。

以此批300，預測此批平均對重量380g以上的機率，μ=375，x￣=380，σx￣=0.889

Z ε%=  x￣  -  μ  /    σx￣  = 380-375 / 0.889  = 5 / 0.889 =5.6272 ,'=NORM.S.DIST(Z,1)從-∞~X=0.999 999 990 8，求以上故1-ε%=0.000 000 009 2。

樣本平均值有95%偏倚信賴區間會落在：375±0.889X1.96的範圍內。

以此批50，對重量380g以上的機率，其中計算標準誤差 σx￣= 15.39 / √50 X 1 =2.176。

以此批50，預測此批平均對重量380g以上的機率，μ=375，x￣=380，σx￣=2.176

Z ε%=  x￣  -  μ  /    σx￣  = 380-375 / 2.176  = 5 / 2.176 =2.2973 ,'=NORM.S.DIST(Z,1)從-∞~X=0.989 198 969 2，求以上故1-ε%=0.010 801 030 8。

樣本平均值有95%偏倚信賴區間會落在：375±2.176X1.96的範圍內。

ž若考慮FPC=C(N,n)=√(N-n/N-1)：

以此批100，對重量380g以上的機率，其中計算標準誤差 σx￣= 15.39 / √100 X √(5000 - 100 / 5000 - 1) =1.524。

以此批100，預測此批平均重量380g以上的機率，μ=375，x￣=380，σx￣=1.524

Z ε%=  x￣  -  μ  /    σ。x￣  = 380-375 / 1.524  = 5 / 1.524 =3.2815 ,'=NORM.S.DIST(Z,1)從-∞~X=0.999 483 752 0，求以上故1-ε%=0.000 516 248 0。

樣本平均值有95%偏倚信賴區間會落在：375±1.524X1.96的範圍內。

以此批300，對重量380g以上的機率，其中計算標準誤差 σx￣= 15.39 / √300 X √(5000 - 300 / 5000 - 1) =0.862。

以此批300，預測此批平均對重量380g以上的機率，μ=375，x￣=380，σx￣=0.862

Z ε%=  x￣  -  μ  /    σ。x￣  = 380-375 / 0.862  = 5 / 0.862 =5.8034 ,'=NORM.S.DIST(Z,1)從-∞~X=0.999 999 996 8，求以上故1-ε%=0.000 000 003 2。

樣本平均值有95%偏倚信賴區間會落在：375±0.862X1.96的範圍內。

以此批50，對重量380g以上的機率，其中計算標準誤差 σx￣= 15.39 / √50 X √(5000 - 50 / 5000 - 1) =2.166。

以此批50，預測此批平均對重量380g以上的機率，μ=375，x￣=380，σx￣=2.166

Z ε%=  x￣  -  μ  /    σ。x￣  = 380-375 / 2.166  = 5 / 2.166 =2.30864 ,'=NORM.S.DIST(Z,1)從-∞~X=0.989 518 089 8，求以上故1-ε%=0.010 481 910 2。

樣本平均值有95%偏倚信賴區間會落在：375±2.166X1.96的範圍內。

ž若考慮FPC=H(N,n)=√(N+n/N+1)

以此批100，對重量380g以上的機率，其中計算標準誤差 σx￣= 15.39 / √100 X √(5000 + 100 / 5000 + 1) =1.554。

以此批100，預測此批平均重量380g以上的機率，μ=375，x￣=380，σx￣=1.554

Z ε%=  x￣  -  μ  /    σx￣  = 380-375 / 1.554  = 5 / 1.554 =3.2172 ,'=NORM.S.DIST(Z,1)從-∞~X=0.999 352 702 6，求以上故1-ε%=0.000 647 297 4。

樣本平均值有95%偏倚信賴區間會落在：375±1.554X1.96的範圍內。

以此批300，對重量380g以上的機率，其中計算標準誤差 σx￣= 15.39 / √300 X √(5000 + 300 / 5000 + 1) =0.915。

以此批300，預測此批平均對重量380g以上的機率，μ=375，x￣=380，σx￣=0.915

Z ε%=  x￣  -  μ  /    σx￣  = 380-375 / 0.915  = 5 / 0.915 =5.8034 ,'=NORM.S.DIST(Z,1)從-∞~X=0.999 999 977 0，求以上故1-ε%=0.000 000 023 0。

樣本平均值有95%偏倚信賴區間會落在：375±0.915X1.96的範圍內。

以此批50，對重量380g以上的機率，其中計算標準誤差 σx￣= 15.39 / √50 X √(5000 + 50 / 5000 + 1) =2.187。

以此批50，預測此批平均對重量380g以上的機率，μ=375，x￣=380，σx￣=2.187

Z ε%=  x￣  -  μ  /    σx￣  = 380-375 / 2.187  = 5 / 2.187 =2.2861 ,'=NORM.S.DIST(Z,1)從-∞~X=0.988 876 396 0，求以上故1-ε%=0.011 123 604 0。

樣本平均值有95%偏倚信賴區間會落在：375±2.166X1.96的範圍內。

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