矩陣的具象應用並對應到Excel函數。

好，我們繼續用「生活中能摸得到」的方式，再多講幾個矩陣的具象應用，並直接對應到 Excel 常用函數。

 

 1. 最常見：資料表本身就是矩陣

幾乎所有 Excel 工作表，只要是「列 = 觀察單位、欄 = 變數」，就是資料矩陣。

 

例子：學生成績這就是矩陣。

| 學生 | 國文 | 英文 | 數學 | 理化 |總分

| 小明 | 85    | 78    | 92     | 88    |343

| 小華 | 76    | 90    | 85     | 79    |330

| 小美 | 92    | 88    | 95     | 91    |366

| 平均 |84.3  |85.3  |90.7   |86.0

 

Excel 相關操作：

📍 算每位學生總分 → =SUM(B2:E2)（對每一列加總）

📍 算每科平均 → =AVERAGE(B2:B4)（對每一欄加總）

📍 轉置（行列互換）→ =TRANSPOSE(A1:E4)（記得用 Ctrl+Shift+Enter 或動態陣列）

 

 2. 矩陣乘法的生活例子：食材總需求

延續你之前「請人吃飯」的例子。

假設我們把「每個人需要的食材份量」寫成矩陣 A（人 × 食材）， 

再把「每種食材的單價」寫成向量 B， 

用矩陣乘法就能一次算出「每個人的餐費」。

或更實用： 

你有一份「每道菜需要哪些食材」的矩陣，再乘上「今天要做幾份菜」，就能算出總採購量。

Excel 對應函數：

📍 =MMULT(矩陣A, 矩陣B) → 矩陣乘法

📍 使用前兩塊選取的範圍必須符合「左邊欄數 = 右邊列數」

 

好，我們直接把「請人吃飯」例子 Excel 的具體數字。

 

 例子一：算「每個人的餐費」

矩陣 A（人 × 食材） 

每一列是一個人，每一欄是一種食材的使用量（單位：份）

| 人\食材        | 粥  | 蛋  | 雞胸肉 | 魚  | 蔬菜 | 特殊主食 |

| 小孩 (A)       | 1    | 1    | 1           | 0   | 0       | 1              |

| 老人 (B)       | 1    | 1    | 1           | 1   | 1       | 0              |

| 健身者 (C)   | 0    | 0    | 2           | 0   | 0       | 2              |

 

向量 B（食材單價，元/份）

| 食材         | 單價  |

| 粥             | 15     |

| 蛋             | 10     |

| 雞胸肉     | 40     |

| 魚             | 50     |

| 蔬菜         | 20     |

| 特殊主食 | 35     |

目標：用矩陣乘法一次算出每個人的餐費。

 

 Excel 操作步驟：

1. 把矩陣 A 輸入在 B2:G4（不含標題）

2. 把單價向量 B 輸入在 I2:I7

3. 在空白處（例如 J2）輸入以下公式：

excel

=MMULT(B2:G4, I2:I7)

4. 按 Enter（Excel 365 會自動往下溢出三個結果；舊版要先選取三個儲存格再按 Ctrl+Shift+Enter）

結果會是：粥* 單價+蛋 * 單價+雞胸肉* 單價+魚 * 單價+蔬菜* 單價+ 特殊主食* 單價。

- 小孩餐費：100。

- 老人餐費：135。

- 健身者餐費：150。

 

人\食材    |粥|蛋|雞胸肉|魚|蔬菜|特殊主食|食材         |單價 |每個人的餐費

小孩 (A)    |1|1|1|0|0|1                                  |粥            |15     |100

老人 (B)    |1|1|1|1|1|0                                  |蛋            |10     |135

健身者 (C)|0|0|2|0|0|2                                  |雞胸肉    |40     |150

||||||                                                                  |魚            |50     |

||||||                                                                  |蔬菜        |20     |

||||||                                                                  |特殊主食|35     |

 

---

 例子二：更實用的「總採購量」計算

這次我們改成「菜色 × 食材」矩陣，再乘上「今天要做幾份」。

矩陣 C（菜色 × 食材）

| 菜色\食材     | 粥 | 蛋 | 雞胸肉 | 魚  | 蔬菜 | 特殊主食 |

| 早餐粥套餐   | 1  | 1   | 0           | 0   | 0       | 0               |

| 義大利麵       | 0  | 0   | 0           | 0   | 0       | 1               |

| 烤雞胸肉       | 0  | 0   | 1           | 0   | 0       | 0               |

| 清蒸魚           | 0  | 0   | 0           | 1   | 0       | 0               |

| 青菜豆腐       | 0  | 0   | 0           | 0   | 1       | 0               |

| 無麩質套餐   | 0  | 0   | 0           | 0   | 0       | 1               |

 

向量 D（今天要做的份數）

| 菜色               | 份數 |

| 早餐粥套餐   | 2       |

| 義大利麵       | 1       |

| 烤雞胸肉       | 3       |

| 清蒸魚           | 1       |

| 青菜豆腐       | 1       |

| 無麩質套餐   | 2       |

 

Excel 公式：

假設矩陣 C 在 B2:G7，份數在 B10:B15，則：

excel

=MMULT(TRANSPOSE(B2:G7), B10:B15)

=MMULT(B2:G7, B10:B15)

 

😮‍我用excel算好了，為什麼？

=MMULT(TRANSPOSE(B2:G7), B10:B15)是：2，2，3，1，1，3。

=MMULT(B2:G7, B10:B15)是：3，2，3，1，1，2。

 

你算的兩個結果都「數學上正確」，但代表的意義完全不同。關鍵在於矩陣的方向。

 先看維度

．矩陣 C（B2:G7）是 6 列（菜色）× 6 欄（食材）

．份數向量 D（B10:B15）是 6×1（每個菜色要做幾份）

 

 兩個公式分別在算什麼？

1. =MMULT(TRANSPOSE(B2:G7), B10:B15) → 結果 2, 2, 3, 1, 1, 3

這才是我們要的「總採購量」。

- TRANSPOSE(B2:G7) 把矩陣變成 6×6（食材 × 菜色）

- 再乘上份數向量 → 這樣才能得到 每個食材總共需要多少份

驗算一下：

| 食材        | 計算過程                                                | 總量 |

| 粥            | 早餐粥套餐 1×2                                    | 2    |

| 蛋             | 早餐粥套餐 1×2                                   | 2    |

| 雞胸肉     | 烤雞胸肉 1×3                                       | 3    |

| 魚             | 清蒸魚 1×1                                           | 1    |

| 蔬菜         | 青菜豆腐 1×1                                       | 1    |

| 特殊主食 | 義大利麵 1×1 + 無麩質套餐 1×2     | 3    |

完全符合你得到的 2, 2, 3, 1, 1, 3。

 

😮‍我不懂為什麼要把矩陣變成 6×6（食材 × 菜色）再乘上份數向量 ，才能得到 每個食材總共需要多少份?

簡單講，就是因為我們「想加總的方向」不對。

 用最直白的方式說明：矩陣 C 現在長這樣（菜色在「列」、食材在「欄」）：

菜色 \ 食材   粥  蛋  雞胸肉  魚  蔬菜  特殊主食

早餐粥套餐    1    1      0       0     0       0

義大利麵        0    0      0       0     0       1

烤雞胸肉        0    0      1       0     0       0

清蒸魚           0    0      0       1     0       0

青菜豆腐       0    0      0       0     1       0

無麩質套餐   0    0      0       0    0       1

我們真正想算的是：「每一種食材，在所有菜色裡總共被用了多少次（再乘上份數）」

也就是我們直正想要的是：垂直加總（把每一欄加起來，並考慮份數）。

可是矩陣乘法 MMULT(C, 份數)的規則是：它會拿「每一列」去跟份數向量做內積（水準方向運算）。

它天生就是在「橫的」方向算，而我們需要的是「直的」方向。

 怎麼讓它改成垂直方向？把矩陣轉置（行列對調）就好了：

轉置後變成：

食材 \ 菜色    早餐粥  義大利麵  烤雞胸肉  清蒸魚  青菜豆腐  無麩質

粥                       1               0               0              0            0            0

蛋                       1               0               0              0            0            0

雞胸肉               0               0               1              0            0            0

魚                        0              0               0              1            0            0

蔬菜                    0              0               0              0            1            0

特殊主食            0              1               0              0            0            1

現在每一「列」代表一種食材，在各道菜裡的用量。

再乘上份數向量時，矩陣乘法就會變成：

> 拿「每一種食材的列」去跟份數做內積 → 正好就是「這種食材總共需要多少」。

 

 用一個食材來感受，以「特殊主食」(義大利麵與無麩質)為例：

今天做 1 份義大利麵用了 1 份特殊主食。

今天做 2 份無麩質套餐用了 2 份特殊主食。

其他菜都是 0。

總共 1+2=3 份特殊主食。

轉置之後，「特殊主食」那一列正好是[0, 1, 0, 0, 0, 1]，跟份數 [2,1,3,1,1,2]做內積，就直接得到 3。

如果不轉置，矩陣乘法根本不會去看「特殊主食」這一欄，它只會橫著算每一道菜。

**一句話總結**：

矩陣乘法預設是「橫著算」。 

我們要「直著加總每種食材」，所以先把矩陣轉 90 度，讓原本的「欄」變成「列」，這樣乘法才能幫我們直著加。

 

=MMULT(B2:G7, B10:B15) → 結果 3, 2, 3, 1, 1, 2

這個公式是直接把「菜色 × 食材」矩陣乘上份數，得到的是：

 每一「列」（每一道菜）的食材向量，跟份數向量做內積。

它沒有統計意義上的「總採購量」，只是把每一道菜的原料組成跟份數混在一起算。 

所以第一個數字 3 = 早餐粥套餐那一列 (1,1,0,0,0,0) 跟份數向量做內積 = 1×2 + 1×1 = 3，依此類推。

粥1x早餐粥套餐2+蛋1x義大利麵1+雞胸肉0x烤雞胸肉3+魚0x清蒸魚1+蔬菜0x青菜豆腐1+特殊主食0x無麩質套餐2。

早餐粥套餐2x粥1+義大利麵1x蛋1+烤雞胸肉3x雞胸肉0+清蒸魚1x魚0+青菜豆腐1x蔬菜0+無麩質套餐2x特殊主食0。

 

純數學角度

矩陣乘法只看「數字的個數」對不對得起來，完全不管名稱。

只有一個要求：第一個矩陣的欄數必須等於第二個向量的列數，名稱相不相同，Excel 或數學都不管。

 

實際意義角度：

我們在做的事情其實是：「把每道菜的用量 × 這道菜要做的份數，再依照食材加總」。

所以：

在第二個的向量的「列」代表的是菜色，那在第一個的矩陣裡必須有一個方向也代表菜色，才能跟份數對上。

原本的第一個矩陣 是：列 = 菜色，欄 = 食材。

如果直接讓矩陣×向量，對上的是「（菜色）」跟「（菜色）」，算出來的結果每一列還是對應一道菜，沒有幫你把相同食材加起來。

轉置之後變成：列 = 食材，欄 = 菜色。

這時「欄（菜色）」才跟份數的「列（菜色）」對上，乘法才會幫你把同一種食材、來自不同菜色的用量加在一起。

簡單比喻：想像你有兩張表：「每道菜用了哪些食材」，「每道菜要做幾份」。

你想知道「每種食材總共要多少」，就必須讓「菜色」與「菜色的食材」這個共通項目對齊，然後在矩陣食材的方向留下來當結果。

轉置只是在調整「誰當列、誰當欄」，好讓共通的「菜色」能夠對在一起相乘。

要相乘的那個內側維度，必須代表同一件事情（這裡就是菜色），結果才有意義。

 

食材 \ 菜色    早餐粥  義大利麵  烤雞胸肉  清蒸魚  青菜豆腐  無麩質       菜色 份數

粥                    1  0  0  0  0  0  早餐粥套餐 2

蛋                    1  0  0  0  0  0  義大利麵 1

雞胸肉                     0  0  1  0  0  0  烤雞胸肉 3

魚 0  0  0  1  0  0  清蒸魚 1

蔬菜 0  0  0  0  1  0  青菜豆腐 1

特殊主食 0  1  0  0  0  1  無麩質套餐 2

 

 

食材 \ 菜色    早餐粥  義大利麵  烤雞胸肉  清蒸魚  青菜豆腐  無麩質      菜色             份數

粥                       1               0               0              0            0            0          早餐粥套餐    2

蛋                       1               0               0              0            0            0          義大利麵        1

雞胸肉               0               0               1              0            0            0           烤雞胸肉        3

魚                        0              0               0              1            0            0          清蒸魚            1

蔬菜                    0              0               0              0            1            0          青菜豆腐         1

特殊主食            0              1               0              0            0            1          無麩質套餐      2

 

=MMULT(B2:G7,I2:I7)

2

2

3

1

1

3

 

驗算一下：

| 食材        | 計算過程                                                | 總量 |

| 粥            | 早餐粥套餐 1×2                                    | 2    |

| 蛋             | 早餐粥套餐 1×2                                   | 2    |

| 雞胸肉     | 烤雞胸肉 1×3                                       | 3    |

| 魚             | 清蒸魚 1×1                                           | 1    |

| 蔬菜         | 青菜豆腐 1×1                                       | 1    |

| 特殊主食 | 義大利麵 1×1 + 無麩質套餐 1×2     | 3    |

完全符合你得到的 2, 2, 3, 1, 1, 3。

 

 

 3. 相似度 / 推薦系統的直觀版

想像你在記「朋友對餐廳的喜好」：

| 朋友A | 火鍋B | 燒肉C | 日式D | 義式E |

| 小明 | 5       | 4      | 2       | 3    |

| 小華 | 4       | 5      | 3       | 2    |

| 小美 | 2       | 3      | 5       | 4    |

這是「人 × 餐廳」矩陣。 

例子三：想知道誰跟誰口味最像，就計算列與列之間的相似度（可用餘弦相似度或相關係數）。

Excel 做法：

📍 先用 =CORREL(B2:E2, B3:E3) 算兩人之間的相關係數

📍 或用 =SUMPRODUCT(B2:E2, B3:E3) 做簡單的內積

 

  CORREL   就是 Excel 用來算「相關係數」的函數。

它在算什麼？

簡單講：兩組數字的「變化模式」有多像。

在你這個「朋友對餐廳喜好」的例子裡：

 小明的評分：火鍋5、燒肉4、日式2、義式3

 小華的評分：火鍋4、燒肉5、日式3、義式2

 =CORREL(小明的評分, 小華的評分)  

會告訴你：這兩個人的喜好「走勢」有多相似。

    相關係數的範圍與意義

| 數值          | 意思

| 接近 +1    | 兩人喜好非常像（同高同低）

| 接近  0      | 幾乎沒有關係

| 接近 -1      | 喜好完全相反（你愛的我厭）|

 

舉例：

小明全部都打很高分

小華全部都打中等分 

但兩人喜歡的餐廳順序一模一樣 → CORREL 還是會接近 1。

 

實際在這個矩陣的用法

假設資料在 B2:E4（小明、小華、小美的評分）：

=CORREL(B2:E2, B3:E3)   ← 小明 vs 小華評分0.6

=CORREL(B2:E2, B4:E4)   ← 小明 vs 小美評分-1.0

=CORREL(B3:E3, B4:E4)   ← 小華 vs 小美評分-0.6

誰跟誰的數值最接近 1，就代表口味最像。

這就是為什麼推薦系統或「找志同道合的人」常會用到相關係數，

它能直接從「人 × 項目」的矩陣裡，衡量列與列之間的相似程度。

 

CORREL 算的是「皮爾森相關係數」（Pearson correlation coefficient），它的純數學定義如下：

公式：假設有兩組數字 x₁, x₂, …, xₙ 和 y₁, y₂, …, yₙ，

則相關係數 r 為：

r = (∑ᵢ₌₁ⁿ (xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / √(∑ᵢ₌₁ⁿ (xᵢ - x̄)² · ∑ᵢ₌₁ⁿ (yᵢ - ȳ)²)

其中：

x̄ 是 x 的平均值

ȳ 是 y 的平均值

也可以寫成更簡潔的形式：r = Cov(X, Y) / (σ_X · σ_Y)

也就是：相關係數 = 兩組資料的共變異數 ÷（X 的標準差 × Y 的標準差）

 

每一部分在做什麼？

分子 ∑ (xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)：先把每筆資料減去自己的平均（中心化），再相乘後加總。

這在測量「兩個變數是否一起高、一起低」。

 

分母：分別計算兩邊離開平均的「波動程度」（標準差），再相乘。

目的是把結果標準化，讓相關係數一定落在 -1 到 +1 之間，不受單位或分數高低影響。

 

直觀意義：先把兩組數字都「移到以 0 為中心」, 再看它們的方向是否一致, 最後除以各自的波動大小，得到純粹的「相似程度」.

這就是為什麼 CORREL 更能反映「模式是否相像」，而不是被原始分數的高低影響。

 

SUMPRODUCT 就是 Excel 裡最直接的「內積」工具。

它在做什麼？

把兩個範圍對應位置的數字相乘，再全部加起來。

公式長這樣：

=SUMPRODUCT(範圍1, 範圍2)

用你餐廳喜好的例子直接看

假設資料是：

朋友 火鍋 燒肉 日式 義式

小明 5 4 2 3

小華 4 5 3 2

算小明跟小華的「簡單相似度」（內積）：

=SUMPRODUCT(B2:E2, B3:E3)

實際在算的是：

5×4 + 4×5 + 2×3 + 3×2

= 20 + 20 + 6 + 6

= 52

這個 52 就是兩人評分向量的內積。

=SUMPRODUCT(B2:E2, B3:E3)  ← 小明 vs 小華評分52

=SUMPRODUCT(B2:E2, B4:E4)  ← 小明 vs 小美評分44

=SUMPRODUCT(B3:E3, B4:E4)  ← 小華 vs 小美評分46

 

為什麼之前會提到它？

因為矩陣乘法裡，最核心的一步就是「列向量跟列向量做內積」。

MMULT 是一次做很多組內積（整排矩陣相乘）

SUMPRODUCT 是一次只做一組內積（兩個向量相乘再加總）

 

所以當你只想比較兩個人的口味像不像，用 SUMPRODUCT 就夠了，不用動到整個矩陣。

跟 CORREL 的差別（順便提一下）

函數 在算什麼 特點

SUMPRODUCT 純粹的內積（對應相乘再加總） 受評分高低影響較大

CORREL 相關係數（有標準化） 比較「形狀」是否相似

 

小明 vs 小華評分52

小明 vs 小美評分44

小華 vs 小美評分46

直觀上，這三個數字可以這樣看：內積越大，代表兩人的原始評分「重疊強度」越高，口味越接近。

 

所以你算出來的排序是：

配對 SUMPRODUCT 內積 直觀解讀：

小明 vs 小華 52 最像，重疊強度最高。

小華 vs 小美 46 次之。

小明 vs 小美 44 三組裡最不像，但跟 46 很接近。

也就是說：

小明和小華的口味最接近；小華和小美又比小明小美再接近一點點。

但要注意，這裡的「接近」是原始評分相乘再加總的接近，不是百分比，也不是「52% 像」。

 

更直覺地說：

如果兩個人在火鍋、燒肉、日式、義式上都給高分，內積就會大。

如果一個人給高分、另一個人也給高分，乘起來就大。

如果一個人給高分、另一個人給低分，乘起來就小。

所以內積大，表示他們在這些項目上的「喜好強度」比較同步。

 

不過它有兩個限制：

沒有固定範圍：52 不是「52 分相似度」，只是相對比較用。

 

容易受打分高低影響：

如果小美每項都打 5 分，她跟誰的內積都會變大。

所以內積比較適合看「原始分數重疊」，不一定等於「喜好形狀很像」。

 

因此最簡單的結論是：

以這三個內積來看：

小明－小華（52） > 小華－小美（46） > 小明－小美（44）

所以小明和小華口味最合；小華和小美次之；小明和小美最不接近，但差距不大。

如果你要只看「喜好趨勢像不像」，而不是原始分數高低，就應該再看 CORREL 或餘弦相似度。

 

簡單說：

想要「原始分數直接相乘加總」→ 用 SUMPRODUCT

想要「不管分數整體偏高或偏低，只看喜好趨勢像不像」→ 用 CORREL

這就是為什麼之前說可以用這兩個函數來衡量「誰跟誰口味最像」。

 

 4. 影像其實是大矩陣

一張黑白照片 = 一個很大的數字矩陣（每個圖元一個亮度值範圍從 0~255）。 

彩色照片則是三個矩陣疊在一起（RGB，RGB各從0~255）。

雖然 Excel 不適合處理真正的影像，但小範圍可以：

📍 用條件格式把數字變成格式化成顏色深淺，就能「看到」矩陣。

 

 5. 例子四：財務與投資組合財務與投資組合

股票報酬率資料常常是「時間 × 股票」的矩陣。 

共變異矩陣（Covariance Matrix）則告訴你哪些股票一起漲跌。

Excel 相關：

📍 =COVAR(範圍1, 範圍2) 或較新的 =COVARIANCE.P

📍 若要一次算出多個變數的共變異矩陣，可用資料分析工具中的「共變數」或自己寫陣列公式。

 

好，我們把「股票報酬率矩陣 + 共變異矩陣」講得更具體一點，並直接對應到 Excel 操作。

股票報酬率資料本身就是矩陣

假設你有 5 天、3 支股票的每日報酬率（單位 %）：

日期  台積電  鴻海  聯發科

9/11     1.2      0.8    -0.5

9/12     -0.3    1.5      0.9

9/13     0.7    -0.2     1.1

9/14     1.5      0.4    -0.8

9/15    -0.6     1.2     0.3

 

這就是一個 5 × 3 的資料矩陣（時間 × 股票）。

每一列 = 某一天所有股票的表現

每一欄 = 某一支股票這幾天的表現

 

共變異矩陣在講什麼？

共變異矩陣會告訴你：

對角線：每支股票自己的變異數（波動有多大）

非對角線：兩支股票之間的共變數（一起漲、一起跌的程度）

 

正的共變數 → 常常一起漲跌

負的共變數 → 常常一個漲、另一個跌

接近 0 → 幾乎沒關係

 

Excel 怎麼算？

方法一：兩兩計算（適合少數股票）

假設資料放在 B2:D6（台積電、鴻海、聯發科）

 

台積電 vs 鴻海的共變數：

=COVARIANCE.P(B2:B6, C2:C6)=-0.320

=COVARIANCE.S(B2:B6, C2:C6)=-0.4

 

台積電 vs 聯發科：

=COVARIANCE.P(B2:B6, D2:D6)=-0.396

=COVARIANCE.S(B2:B6, D2:D6)=-0.495

 

鴻海 vs 聯發科：

=COVARIANCE.P(C2:C6, D2:D6)=-0.006

=COVARIANCE.S(C2:C6, D2:D6)=-0.0075

 

（如果要用樣本共變數，改成 COVARIANCE.S）

 

方法二：一次算出完整共變異矩陣（較推薦）

實用做法（推薦）：

用「資料分析」工具（需先啟用分析工具箱）：

資料 → 資料分析 → 選「共變數」

輸入範圍選 B1:D6（包含標題）

勾選「類別軸標籤在第一列」

輸出範圍選一個空白處

它會直接吐出完整的共變異矩陣。

快速手動版（用 SUMPRODUCT 自己算）

如果想完全掌控，也可以自己算共變數：

=SUMPRODUCT((B2:B6-AVERAGE(B2:B6))*(C2:C6-AVERAGE(C2:C6)))/COUNTA(B2:B6)

這就是母體共變數的定義。

               台積電    鴻海          聯發科

台積電   0.676

鴻海       -0.32        0.3584

聯發科  -0.396       0.006      0.56

 

這個共變異矩陣的直觀意義可以這樣看：

 

對角線（自己跟自己）

• 台積電 0.676：台積電這段時間的波動比較大（變異數最大）

• 鴻海 0.3584：波動中等

• 聯發科 0.56：波動也偏大，但比台積電小一點

數字越大，代表這支股票漲跌幅度越劇烈。

 

非對角線（兩支股票之間的關係）

• 台積電 與 鴻海 = -0.32（負的）

→ 這兩支股票常常「一個漲、另一個跌」。有點互相對沖的味道。

 

• 台積電 與 聯發科 = -0.396（負的，且更明顯）

→ 台積電上漲時，聯發科比較容易下跌；台積電下跌時，聯發科比較容易上漲。負相關更強。

 

• 鴻海 與 聯發科 = 0.006（非常接近 0）

→ 這兩支股票幾乎沒什麼關係，各走各的，互不影響。

 

簡單總結直覺

• 台積電波動最大，而且跟另外兩支都呈現「反向」關係。

• 鴻海和聯發科幾乎獨立，互不幹擾。

• 如果你在做投資組合，台積電跟鴻海（或聯發科）搭配，有機會降低整體波動，因為它們常反向走。

 

這就是共變異矩陣最核心的數學直觀：

對角線看「自己有多躁」，其他格子看「彼此是不是同一個方向在動」。

 

 6. 常用 Excel 矩陣函數整理

| 功能           | Excel 函數              | 說明 |

| 矩陣乘法       | MMULT(A, B)           | 最核心 |

| 矩陣轉置       | TRANSPOSE(範圍)       | 行列互換 |

| 反矩陣         | MINVERSE(範圍)        | 解聯立方程式時常用 |

| 行列式         | MDETERM(範圍)         | 較進階，判斷是否可逆 |

| 陣列加總乘積   | SUMPRODUCT(範圍1, 範圍2) | 很多時候可取代簡單矩陣運算 |

| 動態陣列溢出   | 直接輸入公式後自動展開  | Excel 365 / 2021 很方便 |

 

 小提示（實用技巧）

1. 使用 MMULT、MINVERSE、TRANSPOSE 時，在舊版 Excel 要按 Ctrl + Shift + Enter 變成陣列公式；新版 Excel 365 通常會自動溢出。

2. 矩陣範圍不要包含文字標題，只選數字部分。

3. 想檢查矩陣乘法有沒有算對，可以先用小範圍手動驗算。