相關與迴歸分析：迴歸趨勢線分析-排列組合機率81

 (以下書中筆記心得摘錄內容及例題來自為：發行時間於民國75年一月，由中興管理顧問公司發行，書名：品質管制與工廠統計一書，譯者：陳文哲(現任國立交通大學管理科學研究所專任教授)，黃清連(中國鋼鐵股份有限公司技術開發處長)。原著者為中井重行(早稻田大學工業經營科主任)，池澤辰夫(早稻田大學工學教授)。

迴歸不管如何總回於平均值左右，迴歸(Regression)由1880年生物學家哥爾頓研究雙親與子女身高遺傳關係時，觀察到假設身高高的雙親生下的子女，比雙親高，那其子女又生下子女又比雙親高，則世上必有許多巨人，反之則世上必有許多矮人，但事實上，人的身高皆在其平均值左右。

依前篇相關係數r分析所述，除了能依相關係數r分析，兩變量是否有關連性外，如何知曉兩變量，當以橫軸變量推導縱軸變量，或相反。

表示橫軸與縱軸的直線關係方程式，先假設以一次方程式(斜率)評估，若有需要，可再自行推演。

直線斜率一次方程式，a=截距，b=直線之斜率，則y(縱軸)=a+bx(橫軸)。

若將數據的變異趨勢，視為某種程度變異之直線，此即為迴歸直線。

求迴歸直線時，必須考慮工程判斷上的需求，是要以x橫軸變量推導y縱軸變量，或以y縱軸變量推導x橫軸變量。實務上直接將x軸設置成「成因」，y軸設置成「結果」。

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b為迴歸係數

以x橫軸變量推導y縱軸變量：b=S(x,y)/S(x)。

y縱軸變量-樣品 y￣=b (x橫軸變量-樣品 x￣)，y- y￣=b (x- x￣)，會形成一次方程式，例如 y=0.435 x + 1.695，這樣子的可畫出迴歸直線的一次方程式，

相關係數r分析： r = S(x,y) /  √S(x) * √S(y)，再加乘以 √S(y) /√S(x)時， r =  S(y)/S(x) ，再S各除以√n 使其成為標準差，r‧ [ √S(y)/n  /  S(x)/n ] = r‧sy/sx。

最後推導：迴歸直線方程式，在以x推導y之迴歸直線時，以：y- y￣=b (x- x￣) = y- y￣= r‧sy/sx‧ (x- x￣)。(b=r‧sy/sx(標準差))

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或以y縱軸變量推導x橫軸變量：b'=S(x,y)/S(y)。

x橫軸變量-樣品 x￣=b' (y縱軸變量-樣品 y￣)，x- x￣=b' (y- y￣)，會形成一次方程式，例如 y=0.435 x + 1.695，這樣子的可畫出迴歸直線的一次方程式，

同上x堆導y，當以y推導x時，以：x- x￣=b' (y- y￣) = x- x￣= r‧sx/sy‧ (y- y￣)。(b=r‧sx/sy(標準差))

若r=0，表示無相關時：以x推y之迴歸直線：y - y￣=0，y= y￣。以y推x之迴歸直線：x - x￣=0，x= x￣。

若r=1，表示完全相關時：以x推y之迴歸直線：y - y￣= sy/sx‧(x - x￣)。以y推x之迴歸直線：x - x￣= sy/sx‧(y - y￣)。

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以前篇相關與迴歸分析：相關係數r分析-排列組合機率80-相關係數r分析例題為例：

例題：
有二組數組，一組稱為x，一組稱為y。先依前章檢定假說所述計算S(偏差平方和)=  ΣX^2   － (ΣX )^2 }  / n 。

雙側α=	0.01			雙側α=	0.01
no.	x	X	X ^2	no.	y	Y	Y ^2	XY
1	74	0.5	0.25	1	17	0.2	0.04	0.1
2	67	-6.5	42.25	2	16	-0.8	0.64	5.2
3	59	-14.5	210.25	3	15	-1.8	3.24	26.1
4	60	-13.5	182.25	4	15	-1.8	3.24	24.3
5	51	-22.5	506.25	5	14	-2.8	7.84	63
6	98	24.5	600.25	6	20	3.2	10.24	78.4
7	89	15.5	240.25	7	18	1.2	1.44	18.6
8	77	3.5	12.25	8	17	0.2	0.04	0.7
9	83	9.5	90.25	9	19	2.2	4.84	20.9
10	77	3.5	12.25	10	17	0.2	0.04	0.7
樣品平均	73.5			樣品平均	16.8
標準差	14.5			標準差	1.9
加總	311.00	0	1896.50	加總	77	-7.11E-15	31.6	238

S(偏差平方和)=  ΣX^2   － (ΣX )^2 }  / n				Sy(偏差平方和)=  ΣY^2   － (ΣY )^2 }  / n
Sx=	1896.5			Sy=	31.6
σe=√V =√ Sx(偏差平方和) / n-1				σye=√V =√ Sy(偏差平方和) / n-1
σe=	14.51627			σye=	1.873796
tφ(α冒險率)=使用EXCEL的=T.INV.2T(α,φ)				tyφ(α冒險率)=使用EXCEL的=T.INV.2T(α,φ)
tφ(α)	3.249836			tyφ(α)	3.249836
故信賴區間1%=x￣±(   tφ(α)* (σe /  √n)				故信賴區間1%=x￣±(   tφ(α)* (σe /  √n)
即：pU=	88.42			即：ypU=	18.73
即：PL=	58.58			即：yPL=	14.87

我們來計算：

r = S(x,y) /  √S(x) * √S(y)

S(x,y) =Σ XY -  ( (ΣX)(ΣY)  /  n)

S(x,y) =238(因為剛好此例題ΣX=0)

r = 0.972203

因相關係數 r=0.97，故x數組與y數之間，有極密切的相關關係。

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若以一般：以x橫軸變量推導y縱軸變量：

推算y- y￣=b (x- x￣) 這個迴歸方程式。

斜率： b=S(x,y)/S(x)

b=S(x,y)/S(x)=238/1896.5=0.125494332

在以x推導y之迴歸直線時：y- y￣=b (x- x￣)，用excel來計算：y=bx + ((-1 * x￣)+y￣)

則會得到：y=0.1254943x+7.5761666。

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在相關係數 r，若無EXCEL的人可以用整數減整數的方法計算，

r= S(x,y) /  √S(x) * √S(y)，X=(x-70(真實平均73.5用假定平均70))倍數g，Y=(y-16(真實平均16.8用假定平均16)))倍數h，

使用由原數值減去假定平均的方式而得到相關係數 r=266-((35*8)/10)  /  √1896.5*31.6 =0.972203的同樣解答。

但是在此計算迴歸係數b時，必須再轉換為原來的數據方可：此時數據之變換 X(假定平均)=(x-A)g，Y(假定平均)=(x-A)h，也就是：X=(x-70)1，Y=(x-16)1

即是：以x橫軸變量推導y縱軸變量：b=S(x,y)/S(x) =因變換數據故再需轉換

=  (S(x,y)/gh)   /   (S(x)/g^2)   =  (S(x,y) / (S(x) ) /  g^2 / gh  =  (S(x,y) / (S(x) ) ‧ g / h  。

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以下是：在你已確認完基礎概念都已經學完後：

你可學著用EXCEL這個工具來快速評估：

(1)

你可以使用EXCEL相關係數函數 CORREL(y範圍，x範圍)計算相關係數r=CORREL(B51:B60,F51:F60)=0.9722030791。

以快速算出你的計算是沒有錯誤的。

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(2)或是用Excel的圖表來觀察：

記得不要用折線圖，要用散布圖，看是要選x，y來做還是要選X，Y(X是xi=x-x￣，Y是yi=y-y￣))

折線圖中X值即使是數字，都會被視為類別資料 因此要帶入的X值不可以用原來的數字，而要用1,2,3,4。

散布圖選好X跟Y後：

然後打開圖表設計，新增圖表選項趨勢線，選擇線性，圖表上顯示公式，圖表上顯示R平方值。
https://learn.microsoft.com/zh-tw/office/troubleshoot/excel/inaccurate-chart-trendline-formula
趨勢線方程式 是一種公式，可尋找最適合資料點的線條。 R 平方值 會測量趨勢線可靠性 - R2 越接近 1，趨勢線就越適合資料。

注意 趨勢線公式用於 XY 散佈圖。此圖表會將 X 軸與 Y 軸繪製為值。

折線圖、直條圖與橫條圖只會將 Y 軸繪製為值。

在這些圖表類型中，不論標籤實際是什麼，X 軸只會繪製為線性數列。因此，如果趨勢線顯示在這些類型的圖表上，則該趨勢線將會不正確，產生此錯誤是系統刻意為之。

首先務必查看圖表。如果發現這些點非常接近趨勢線，則表示關係可能非常穩定。但是，如果點的分佈非常隨機，並且通常狀況下遠離趨勢線，那麼要小心了：相關性較弱，不應盲目相信估計出來的關係。

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趨勢線選項：
線性：y=0.1255 x+ 7.5762，R2=0.9452。

多項次：冪次2，y=-5E-0.5x^2+ 0.1333x +7.2957，R2=0.9452。
指數：y=9.6388 e^0.0075x，R2=0.9417。
對數：y=8.9832 ln(x)- 21.642，R2=0.9369。

另外使用公式和使用EXCEL圖表趨勢線，圖表趨勢線常會有小數點造成的誤差，

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【趨勢線種類】https://dotblogs.com.tw/eason/2010/10/26/18589

線性：線性趨勢線是適用於簡單線性資料集的擬合直線。如果資料點的散佈形狀近似直線，則資料為線性。線性趨勢線通常表示事物以穩定的速度增加或減少。

多項式：多項式趨勢線是一種曲線，適合擺動不定的資料使用，例如這種線便非常適合用來分析大量資料的損益。多項式的冪次可由資料波動的次數或曲線彎曲點 (波峰和波谷) 的個數決定。二階多項式趨勢線通常僅有一個波峰或波谷。三階多項式趨勢線通常有一個或兩個波峰或波谷。四階多項式趨勢線則通常多達三個。

對數：如果資料的增減速率一開始非常快，後來又趨於平緩，這種資料最適合使用針對曲線擬合的對數趨勢線。對數趨勢線可以使用正值和負值。

乘冪：指數趨勢線是一條曲線，最適合表示以特定比率增加的比較測量值所組成的資料集 (例如，賽車一秒內的加速度)。如果資料中包含零或負數值，就無法建立乘冪趨勢線。

指數：指數趨勢線是一種曲線，最適合驟增或驟減的資料值，但若資料值中有零或負數，就不能使用指數趨勢線。

移動平均：移動平均趨勢線可將資料中的微小波動平滑化，以便清楚顯示資料的範圍和趨勢。移動平均趨勢線使用特定數目的資料點 (由 [週期] 選項設定)，取其平均值，然後以該平均值作為趨勢線中的一個點。例如，如果 [週期] 設定為 2，則前兩個資料點的平均值就是移動平均趨勢線中的第一個點。第二個和第三個資料點的平均值就是趨勢線的第二個點，依此類推。

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(3)

最後是：使用內建分析工具：

EXCEL 功能表，開發人員，資料分析，迴歸，選Y跟X範圍，輸出新範圍。

摘要輸出

摘要 輸出
迴歸 統計
R 的 倍數	0.972203
R 平方	0.945179
調整的 R 平方	0.938326
標準誤	0.465342
觀察值 個數	10
ANOVA
	自由度	SS	MS	F	顯著值
迴歸	1	29.86765	29.86765	137.929	2.53E-06
殘差	8	1.732349	0.216544
總和	9	31.6
	係數	標準誤	t 統計	P-值	下限 95%	上限  95%	下限  99.0%	上限  99.0%
截距	7.576167	0.799054	9.481423	1.26E-05	5.733545	9.418788	4.895032	10.2573
X 變數  1	0.125494	0.010686	11.74432	2.53E-06	0.100853	0.150135	0.08964	0.161348
殘差 輸出				機率 輸出
觀察值	預測 Y	殘差		百分比	Y
1	16.86275	0.137253		5	14
2	15.98429	0.015713		15	15
3	14.98033	0.019668		25	15
4	15.10583	-0.10583		35	16
5	13.97638	0.023622		45	17
6	19.87461	0.125389		55	17
7	18.74516	-0.74516		65	17
8	17.23923	-0.23923		75	18
9	17.9922	1.007804		85	19
10	17.23923	-0.23923		95	20